Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 191
= lím
h→0
=
f 2 (X, ∆X
h
∆X ∆X
) − f(X, X)f( h , h )
f(X, X) f(X, X)+2f(X, ∆X)+f(∆X, ∆X)
f 2 (X, X ′ ) − f(X, X)f(X ′ ,X ′ )
f 2 .
(X, X)
Vamos a particularizar esta fórmula para el caso del plano de Klein, es decir,
tomando como f la circunferencia unidad f(X1,X2) =z1z2 − x1x2 − y1y2 yel
arco de la forma X(t) = x(t),y(t), 1 , de modo que X ′ (t) = x ′ (t),y ′ (t), 0 .El
resultado es:
2 ds
dt
= (xx′ − yy ′ ) 2 +(1−x2 − y2 )(x ′2 + y ′2 )
(1 − x2 − y2 ) 2
.
Operando y multiplicando por dt 2 obtenemos una expresión para el elemento
de longitud hiperbólica en el plano de Klein:
ds 2 = dx2 + dy2 − (xdy− ydx) 2
(1 − x2 − y2 ) 2 ,
que ha de entenderse como una ecuación funcional, para cada punto t, entre
la diferencial de la longitud de arco ds(t) y las diferenciales dx(t), dy(t) delas
funciones coordenadas del arco. Formalmente, si X :[a, b] −→ R 2 , definimos
s(t) como la integral desde a hasta t de la raíz cuadrada del miembro derecho
de la igualdad anterior, con lo que obtenemos una función que satisface dicha
relación. Informalmente ds así calculado es el incremento infinitesimal que experimenta
la longitud de arco cuando el parámetro se incrementa en dt yla
integral de ds nos da el incremento completo de la longitud de arco entre dos
límites dados.
Observemos que la longitud hiperbólica es invariante por isometrías. En
efecto, a cada arco X :[a, b] −→ R2 le hemos asociado la función s determinada
por s(a) =0y
ds
dt =lím
d
h→0
X(t + h),X(t)
|h|
y es obvio que el miembro derecho es invariante por isometrías.
La expresión que hemos obtenido no es muy manejable, y las integrales a que
da lugar resultan complicadas. Las coordenadas polares nos dan una expresión
más sencilla. Si diferenciamos (x, y) = (r cos θ, r sen θ) y sustituimos en la
expresión de ds obtenemos
ds 2 =
dr2 (1 − r2 r2
+
) 2 1 − r2 dθ2 .
Si un punto se encuentra a una distancia hiperbólica ρ del centro del plano
de Klein, la distancia euclídea es r = tanh ρ. Al diferenciar esta relación y