Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.5. Las fórmulas de Green 387
La tercera fórmula de Green para una función harmónica f se reduce a
1
1
f(x) =
(n − 2)σn−1 ∂V x − yn−2 df d 1
− f
dn dn x − yn−2
dσ(y),
donde V es un abierto en Rn cuya clausura sea una variedad compacta y en el
cual f sea harmónica (con n ≥ 3).
Esta fórmula nos dice en principio que una función harmónica f en V está
completamente determinada por los valores que f y df/dn toman sobre ∂V .
Podemos ir más lejos y concluir que una función harmónica en V está completamente
determinada por los valores que toma en ∂V . En efecto, supongamos
que f1 y f2 son funciones continuas en V , harmónicas en V y que coinciden
en ∂V . Entonces la función h = f1 − f2 es harmónica en V y se anula en ∂V .
Aplicando la primera fórmula de Green a las funciones f = g = h resulta
∇h 2 dm =0
V
y, como el integrando es positivo, ha de ser ∇h =0enV , lo que implica que h
es constante en V y, como se anula en ∂V ,hadeserh = 0, es decir, f1 = f2.
Si suponemos ahora que V es la bola de centro x y radio r, entonces la
tercera fórmula de Green para una función harmónica nos da que
f(x) =
1
r n−2 (n − 2)σn−1
∂V
df
dσ +
dn
1
r n−1 σn−1
Por el teorema de la divergencia
df
dσ = ∇f ndσ= ∆f dm=0,
∂V dn ∂V
V
luego se cumple el llamado teorema del valor medio de Gauss:
1
f(x) =
fdσ.
σ(∂Br(x))
∂Br(x)
∂V
fdσ,
Esta fórmula afirma que el valor que toma una función harmónica en un
punto x es la media aritmética de los valores que toma en cualquier esfera con
centro en x. De aquí se sigue fácilmente que una función harmónica no puede
tomar valores máximos o mínimos en ningún abierto en el que esté definida.
También es claro que si una función harmónica tiende a una constante en ∞
entonces es constante.
Ejemplo Si f, g : R n −→ R, usaremos la notación f = O(g) para indicar que
existen constantes M y R tales que si x ≥R entonces |f(x)| ≤M|g(x)| (se
dice entonces que f es una función del orden de g).
Si f : R n −→ R es una función de clase C 2 con soporte compacto, donde
n ≥ 3, es fácil ver que su potencial newtoniano Vf cumple Vf = O(1/x n−2 )