Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 379
como parte de la frontera de G \ B es la dada por el vector normal que apunta
hacia dentro de B, es decir, la opuesta a su orientación positiva como frontera
de B. El teorema de Stokes nos da que el flujo de E por la frontera de G \ B
es nulo, luego el flujo a través de S es igual al flujo a través de ∂B. Por otra
parte, el campo E es normal a ∂B, demódulo constante sobre la superficie y
apunta hacia el interior, luego dicho flujo es
Φ=−Em(∂B) =− GM
r 2 4πr2 = −4πGM,
donde r es el radio de B.
Resulta orientador pensar en el campo gravitatorio generado por una masa
puntual M como si fuera el campo de velocidades de un fluido incompresible.
El hecho de que el flujo a través de las superficies cerradas que contienen a y sea
−4πGM se interpreta como que tales superficies “se tragan” una cantidad de
fluido proporcional a M. No podemos decir con propiedad que y sea un sumidero
en el sentido que dimos a este término, pues sobre él no está definido el campo,
pero esto más bien debe llevarnos a pensar que dicha definición de sumidero es
demasiado particular, y que debemos admitir como tales a los puntos alrededor
de los cuales desaparece fluido en el sentido que acabamos de ver.
Por otra parte, donde no hay masa la divergencia del campo es nula y,
efectivamente, no se crea ni se destruye fluido (el flujo es nulo).
Todo esto se generaliza de forma inmediata al caso del campo producido por
n partículas puntuales de masas M1,...,Mn. Basta aplicar el principio de superposición,
en virtud del cual la fuerza que estas masas ejercen sobre un cuerpo
dado es la suma de las fuerzas que cada una de ellas ejercería por separado. Es
claro entonces que el potencial del campo es la suma de los potenciales asociados
a cada uno de ellos. El flujo a través de una superficie cerrada es igual a −4πG
por la suma de las masas que contiene.
Los modelos de masas puntuales son válidos para estudiar el movimiento de
los planetas, pero no sirven para dar cuenta, por ejemplo, de la interacción entre
la Tierra y los objetos próximos a ella. En tal caso debemos tener en cuenta la
forma geométrica del espacio que ocupan las masas. En lugar de tener uno o
varios puntos de masa tenemos una medida que asigna a cada región del espacio
la masa que contiene. Si admitimos que una región de volumen 0 no puede
contener masa (es decir, negamos la existencia de masas puntuales) entonces
dicha medida estará determinada por una función de densidad ρ, de modo que
la masa contenida en un volumen V vendrá dada por
M = ρ dm.
V
Para calcular una aproximación de la intensidad del campo gravitatorio generado
por la distribución de masas ρ en un punto x podemos dividir el espacio
en regiones pequeñas de volumen ρdm, calcular la intensidad correspondiente
a esta masa y sumar las fuerzas así obtenidas. Con ello estamos calculando una