Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

158 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
concepto. Tenemos un punto a ∈ Rn y una recta que pasa por a. Ésta queda
determinada por un vector v ∈ Rn no nulo. Podemos suponer v = 1 (mientras
no se indique lo contrario, todas las normas que consideraremos serán euclídeas).
Los puntos de la recta son los de la forma a+hv, con h ∈ R. Más concretamente,
el punto a + hv es el que se encuentra a una distancia |h| de a sobre dicha recta
(el signo de h distingue los dos puntos en estas condiciones).
Buscamos una recta que se parece a la gráfica de f alrededor del punto a.
Si la gráfica fuera rectilínea en la dirección considerada, su pendiente vendría
dada por
f(a + hv) − f(a)
,
h
para cualquier h = 0. Sinoesasí, entonces esta expresión se parecerá más a
la pendiente que buscamos cuanto menor sea h. Ello nos lleva a la definición
siguiente:
Definición 4.1 Dada una función f : A ⊂ Rn −→ Rm definida en un abierto,
un punto a ∈ A y un vector v ∈ Rn no nulo, llamaremos derivada direccional
de f en a y en la dirección de v al vector
f ′ f(a + hv) − f(a)
(a; v) = lím
∈ R
h→0 h
m .
Es fácil ver que si existe f ′ (a; v) entonces existe f ′ (a; λv) =λf ′ (a, v) para
todo λ ∈ R \{0}. Por lo tanto no perdemos generalidad si suponemos v =1.
Si existe f ′ (a; v), para valores pequeños de h tenemos la aproximación
f(a + hv) ≈ f(a)+hf ′ (a; v),
con lo que la expresión hf ′ (a; v) aproxima el incremento que experimenta f(a)
cuando la variable se incrementa h unidades en la dirección de v.
En el caso m = 1 la función a+hv ↦→ f(a)+hf ′ (a; v) se llama recta tangente
alagráfica de f en a. Es claro que se trata de la recta que pretendíamos
caracterizar.
Como en el caso de una variable, si una función f : A ⊂ Rn −→ Rn admite
derivada direccional en la dirección de v y en todo punto de A, entonces tenemos
definida una función
f ′ ( ;v) :A −→ R m .
Respecto al cálculo de derivadas direccionales, las propiedades de los límites
nos dan en primer lugar que si f(x) = f1(x),...,fm(x) , entonces
f ′ (a; v) = f ′ 1(a; v),...,f ′ m(a; v) ,
entendiendo que la derivada de f existe si y sólo si existen las derivadas de
todas las funciones coordenadas fi. Por consiguiente el cálculo de derivadas
direccionales se reduce al caso de funciones f : A ⊂ R n −→ R. A su vez éstas
se reducen al cálculo de derivadas de funciones de una variable. Efectivamente,
basta considerar la función φ(h) =f(a + hv). El hecho que que A sea abierto
implica claramente que φ está definida en un entorno de 0 y comparando las
definiciones es claro que f ′ (a; v) =φ ′ (0).