Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

114 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
El caso ya probado de la regla de L’Hôpital nos da ahora que también existe
Obviamente entonces
F (x)
lím = L.
x→0 G(x)
f(x)
lím = L.
x→+∞ g(x)
Igualmente se prueba la regla de L’Hôpital para funciones definidas en intervalos
]− nfty, b[ y cuando x tiende a −∞.
Así pues, si tenemos una indeterminación de tipo 0/0 y al derivar numerador
y denominador podemos calcular el límite, la función original tiene ese
mismo límite. Ahora veremos que la regla de L’Hôpital es aplicable también a
indeterminaciones del tipo ∞/∞.
Teorema 3.19 (Regla de L’Hôpital) Sean f, g :]a, +∞[ −→ R dos funciones
derivables tales que lím f(x) = lím
x→+∞ x→+∞ g(x) =∞ ydemodoquegy g′ no
se anulan en ]a, +∞[. Si existe
entonces también existe
f
lím
x→+∞
′ (x)
g ′ = L,
(x)
f(x)
lím = L.
x→+∞ g(x)
Demostración: Por definición de límite, dado ɛ>0, existe un M>atal
que si x>M entonces
f ′ (x)
g ′
− L
(x) M, existe un y ∈ ]M,x[ demodoque
f(x) − f(M)
g(x) − g(M) = f ′ (y)
g ′ (y) ,
luego
f(x) − f(M)
− L
g(x) − g(M) Mtal que si x>N entonces
x→+∞
|f(x)| > |f(M)|, y en particular f(x) − f(M) = 0. Por ello, para x > N
podemos escribir
f(x) f(x) − f(M)
=
g(x) g(x) − g(M)
f(x)
f(x) − f(M)
g(x) − g(M)
.
g(x)