Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.5. Aplicaciones a las series numéricas 87
entendiendo que si las series de la izquierda convergen, las de la derecha también
lo hacen y se da la igualdad. Un resultado análogo para producto de series ya
no es tan sencillo.
Definición 2.48 Sean ∞
an y ∞
bn dos series en K. Llamaremos producto
n=0 n=0
de Cauchy de estas series a la serie ∞
n
.
n=0
ak · bn−k
k=0
La intención es que la serie que acabamos de definir converja al producto de
las dos series de partida, pero esto no ocurre necesariamente si al menos una de
ellas no converge absolutamente.
Teorema 2.49 Si ∞
an y
n=0
∞
bn son dos series convergentes en K al menos
n=0
una de las cuales converge absolutamente, entonces
∞
n
∞
∞
=
.
n=0
k=0
ak · bn−k
Demostración: Supongamos que la serie que converge absolutamente es
∞
an y definamos
n=0
Ahora,
∞
∞
A = an, B= bn, cn =
n=0
An =
n=0
n
ak, Bn =
k=0
n=0
an
n=0
bn
n
ak · bn−k, Cn =
k=0
n
bk, βn = Bn − B.
k=0
n
ck,
Cn = c0 + ···+ cn = a0b0 +(a0b1 + a1b0)+···+(a0bn + ···+ anb0)
= a0Bn + ···+ anB0 = a0(B + βn)+···+ an(B + β0)
= AnB +(a0βn + ···+ anβ0)
El teorema quedará probado si vemos que a0βn + ···+ anβ0 tiende a 0.
Sea ɛ>0. Sea K = ∞
|an|. Sea M = sup |βn| |n ≥ 0 (la sucesión βn
n=0
tiende a 0, luego está acotada).
Existe un número natural n0 tal que si n ≥ n0, entonces |βn|