Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.3. La integral de Lebesgue 263
b) Sean s = n
αiχAi y t = m
βjχBj . Llamemos Eij = Ai ∩ Bj. Así, tanto
i=1
j=1
s como t son constantes en los conjuntos Eij (s toma el valor αi y t el valor βj).
Por lo tanto
(s + t) dµ =(αi + βj)µ(Eij) =αiµ(Eij)+βjµ(Eij) = sdµ+ t dµ.
Eij
Como los conjuntos Eij son disjuntos dos a dos y su unión es X, la parte a)
nos da que la igualdad se cumple para integrales en X.
En particular notamos que si s ≤ t son funciones simples en un espacio
medida X, entonces t − s también es una función simple y
sdµ≤ sdµ+ (t − s) dµ = t dµ.
X
X
En particular se cumple que
tdµ= sup
sdµ| s es una función simple, s ≤ t .
X
Esto hace consistente la siguiente definición:
X
Definición 7.13 Sea X un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] una función
medible. Definimos la integral de f como
fdµ= sup
sdµ| s es una función simple, s ≤ f ∈ [0, +∞].
X
X
X
Observar que si E es un subconjunto medible de X, sises una función
simple en E por debajo de f|E, su extensión a X (nula fuera de E) es una
función simple bajo fχE, y la restricción a E de una función simple en X bajo
fχE es una función simple en E bajo f|E. De aquí se sigue que
fdµ= fχE dµ,
E
pues ambas integrales son el supremo del mismo conjunto de números reales.
Las propiedades siguientes son inmediatas a partir de la definición:
Teorema 7.14 Sea X un espacio medida y E un subconjunto medible de X.
a) Si 0 ≤ f ≤ g son funciones medibles en X, entonces
fdµ≤ X X gdµ.
b) Si f ≥ 0 es una función medible en X y A ⊂ B son subconjuntos medibles
de X, entonces
fdµ≤ A B fdµ.
c) Si f ≥ 0 es una función medible en X y f|E =0, entonces
E fdµ=0
(aunque sea µ(E) =+∞).
X
X
Eij
Eij