Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

4.3. Curvas parametrizables 177
Definición 4.21 Una curva parametrizada regular x : I −→ R n es una aplicación
definida sobre un intervalo abierto I ⊂ R derivable y con derivada no
nula en ningún punto.
El vector
T (t) = x′ (t)
x ′ (t)
se llama vector tangente a x en el punto x(t). La recta que pasa por x(t) con
dirección T (t) se llama recta tangente a x por x(t).
Hemos visto un ejemplo de una misma trayectoria recorrida a velocidades
distintas. Desde un punto de vista geométrico, lo que importa de una curva
es su forma, y no la velocidad con la que se recorre. Vamos a explicitar esta
distinción.
Dado un arco parametrizado x :[a, b] −→ Rn ,uncambio de parámetro es
una aplicación t :[u, v] −→ [a, b] que se extiende a un intervalo abierto mayor
donde es derivable y la derivada no se anula. Por consiguiente t es biyectiva y
t ′ tiene signo constante. Diremos que t es un cambio de parámetro directo o
inverso según si t ′ > 0ot ′ < 0. El arco parametrizado y(s) =x(t(s)) se llama
reparametrización de x mediante el cambio de parámetro t.
Diremos que dos arcos parametrizados regulares x e y son (estrictamente)
equivalentes si existe un cambio de parámetro (directo) que transforma uno en
otro.
Es claro que la identidad es un cambio de parámetro directo, la inversa
de un cambio de parámetro (directo) es un cambio de parámetro (directo) y la
composición de dos cambios de parámetro (directos) es un cambio de parámetro
(directo). De aquí se sigue que la equivalencia y la equivalencia estricta son
relaciones de equivalencia entre los arcos parametrizados.
Llamaremos arcos regulares a las clases de equivalencia estricta de arcos
parametrizados regulares, de modo que dos elementos de la misma clase se
considerarán dos parametrizaciones de un mismo arco.
Todas las parametrizaciones de un arco tienen la misma imagen, a la que
podemos llamar imagen del arco. Los cambios de parámetro directos son crecientes,
por lo que dos parametrizaciones de un mismo arco tienen los mismos
extremos, a los que podemos llamar extremos del arco.
Consideremos dos parametrizaciones x :[a, b] −→ Rn , y :[c, d] −→ Rn de
un mismo arco. Entonces y(s) =x(t(s)) para un cierto cambio de parámetro
directo t. Consideremos ahora dos cambios de parámetro inversos
u :[a ′ ,b ′ ] −→ [a, b], v :[c ′ ,d ′ ] −→ [c, d]
y las reparametrizaciones x(u(r)), y(v(r)). Entonces y(v(r)) = x(t(v(r)) =
x(u(u −1 (t(v(r)))) y v ◦ t ◦ u −1 es un cambio de parámetro directo, luego las
dos reparametrizaciones corresponden a un mismo arco. Por lo tanto, podemos
definir el arco inverso de un arco x al arco resultante de componer con un
cambio de parámetro inverso cualquiera de las parametrizaciones de x. Lo