Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

7.3. La integral de Lebesgue 261
7.3 La integral de Lebesgue
En todo espacio medida X podemos definir una integral que generaliza fuertemente
a la integral de Riemann que estudiamos en el capítulo anterior para
el caso de la recta real. Más adelante veremos que es posible definir una única
medida en R de modo que µ [a, b] = b − a. La integral asociada a esta medida
coincide con la integral de Riemann sobre las funciones en las que ésta está
definida.
La idea fundamental es que el papel que juegan los intervalos en la integral
de Riemann lo juegan los conjuntos medibles en el caso general. Al considerar
conjuntos más generales obtenemos muchas más funciones integrables, lo que
se traduce en que la integrabilidad se conserva no sólo por las operaciones algebraicas
(como en el caso de la integral de Riemann) sino también por pasos
al límite. En lugar de dar una definición de integral que muestre estas ideas,
aprovecharemos las propiedades de convergencia para dar una definición rápida.
Definición 7.9 Una función simple en un espacio medida X es una función
medible s : X −→ [0, +∞[ que sólo toma un número finito de valores α1,...,αn.
Si llamamos Ai = s−1 [αi], entonces los conjuntos Ai son medibles disjuntos y
s = n
αiχAi.
i=1
La base de nuestra construcción de la integral será el teorema siguiente:
Teorema 7.10 Si X es un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] es una función
medible, entonces existe una sucesión {sn} ∞ n=1 de funciones simples en X tal
que
0 ≤ s1 ≤ s2 ≤···≤f y f =lím n sn.
Demostración: Para cada número natural
n > 0 y cada t ∈ R existe un único
k = kn(t) ∈ N tal que k/2 n ≤ t