Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.2. Espacios conexos 73
Demostración: Se cumple que f[X] es un conexo, luego un intervalo.
Como f(x) yf(y) están en f[X], a también ha de estar en f[X].
A pesar de su simplicidad, las consecuencias de este teorema son importantes.
Por ejemplo, no hay polinomios irreducibles de grado impar sobre R, salvo los
de grado 1:
Teorema 2.23 Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado impar tiene al menos una
raíz en R.
Demostración: Como p(x) tiene una raíz si y sólo si la tiene −p(x), podemos
suponer que su coeficiente director es positivo.
Entonces lím p(x) =+∞, mientras que lím p(x) =−∞. En particular
x→+∞ x→−∞
existe un u ∈ R tal que p(u) < 0 y existe un v ∈ R tal que p(v) > 0. Por el
teorema de los valores intermedios también existe un a ∈ R tal que p(a) =0.
Por supuesto el teorema es falso para polinomios de grado par. Basta pensar
en el caso x2 +1.
Si a>0, el teorema de los valores intermedios aplicado al polinomio xn − a
nos permite concluir la existencia de un b>0 tal que bn = a. Es claramente
único, pues si bn = cn , entonces (b/c) n = 1, de donde b/c = ±1, luego si ambos
son positivos b = c.
Definición 2.24 Para cada natural n>0 y cada número real a>0 definimos
la raíz n-sima de a como el único número b>0 tal que b n = a. Lo representaremos
b = n√ a
Unas comprobaciones rutinarias muestran que si m, n son números enteros
n>0ya>0 entonces el número a m/n = n √ a m depende sólo de la fracción
m/n, con lo que tenemos definida la exponencial a r para todo número real
positivo a ytodonúmero racional r y extiende a la exponencial entera. También
se comprueba que a r+s = a r a s ,(a r ) r = a rs .
*Afinidades directas e inversas Las isometrías de un espacio afín euclídeo
E se clasifican en movimientos y simetrías según que el determinante de la
aplicación lineal asociada sea igual a 1 o a −1. La topología proporciona una
interpretación geométrica de esta distinción puramente algebraica. En efecto,
es conocido que todo movimiento (en dimensión mayor que 1) se descompone
en composición de giros, y un giro es una aplicación f que en un sistema de
referencia afín adecuado tiene la expresión:
x ′ 1 = x1 cos α − x2 sen α,
x ′ 2 = x1 sen α + x2 cos α
x ′ 3 = x3,
··· ···
x ′ n = xn