Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.2. Espacios conexos 69
Los resultados siguientes permiten probar con facilidad la conexión de muchos
espacios. El primero refleja el hecho de que las aplicaciones continuas
pueden pegar pero nunca cortar.
Teorema 2.17 Las imágenes continuas de los espacios conexos son conexas.
Demostración: Si f : X −→ Y es una aplicación continua y suprayectiva
pero Y no es conexo, entonces X tampoco puede serlo, pues si A es una abierto
cerrado no vacío en Y y distinto de Y , entonces f −1 [A] cumple lo mismo en X.
Teorema 2.18 Sea {Ai}i∈I una familia de subespacios conexos de un espacio
X tal que
Ai = ∅. Entonces
Ai es conexo.
i∈I
i∈I
Demostración: Supongamos que
Ai = U ∪V , donde U y V son abiertos
i∈I
disjuntos. Entonces para un i cualquiera se tendrá que Ai =(U∩Ai)∪(V ∩Ai),
pero U ∩ Ai, V ∩ Ai son abiertos disjuntos en Ai, luego uno de ellos es vacío, y
así Ai ⊂ U o bien Ai ⊂ V .
Pero si Ai ⊂ U, entonces U contiene a
Ai, luego U corta a todos los Ai
i∈I
y por conexión los contiene a todos. Así
Ai = U, yV = ∅. Igualmente, si
Ai ⊂ V se deduce que U es vacío.
Ejemplo Las circunferencias son conexas.
Sea f :[−1, 1] −→ {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 =1, y ≥ 0} la aplicación dada por
f(x) = x, √ 1 − x 2 .
Claramente f es continua y suprayectiva, lo que prueba que la semicircunferencia
es conexa. Igualmente se prueba que la semicircunferencia opuesta es
conexa, y como ambas se cortan en los puntos (±1, 0), su unión, es decir, la
circunferencia, es conexa.
Teorema 2.19 Si A es un subespacio conexo de un espacio X, entonces A es
conexo.
Demostración: Supongamos que A = U ∪ V , donde U y V son abiertos
disjuntos en A. Entonces A =(U ∩ A) ∪ (V ∩ A), y U ∩ A, V ∩ A son abiertos
disjuntos en A. Por conexión uno es vacío, luego A ⊂ U o bien A ⊂ V . Digamos
A ⊂ U ⊂ A.
Pero U es cerrado en A, luego A ⊂ U = U, es decir, U = A y V = ∅. Esto
prueba que A es conexo.
Hemos dicho que un espacio disconexo es un espacio formado por varias
“piezas” ahora podemos dar una definición rigurosa de lo que entendemos por
una “pieza”.
i∈I