Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

412 Capítulo 11. Cohomología de De Rham
de cohomología de dm es una base de H n (S n ). Hemos de ver si está enH n +(S n )
oenH n −(S n ). Dado p ∈ S n y v1,...,vn ∈ Tp(S n ), calculamos
J ♯ (dm)(p)(v1,...,vn) =dm J(p) dJ(p)(v1),...,dJ(p)(vn) .
Podemos considerar a J definida en todo Rn+1 . La aplicación J en S es la
restricción de ésta, luego dJ en S es la restricción de dJ en Rn+1 , pero J es
lineal, luego dJ(p) =J, para todo p ∈ Rn , luego en definitiva dJ(p)(v) =−v.
Por consiguiente J ♯ (dm)(p) =(−1) ndm J(p) .
Notar que la igualdad anterior tiene sentido porque Sn tiene el mismo espacio
tangente en dos puntos antípodas. Sin embargo, es fácil ver que la orientación
de Tp(Sn ) es la opuesta de la de TJ(p)(Sn ), por lo que dm J(p) = −dm(p). En
resumen obtenemos que J ♯ (dm) =(−1) n+1 dm, con lo que
H+(S n )=
R si n es impar
0 si n es par
H−(S n )=
0 si n es impar
R si n es par
El interés de estos grupos de cohomología se debe a lo siguiente:
Teorema 11.14 Sea π : S −→ P un difeomorfismo local entre variedades, es
decir, π es diferenciable y suprayectiva y todo punto de S tiene un entorno
abierto V tal que π[V ] es abierto en P y la restricción de π a V es un difeomorfismo
en su imagen. Sea J una involución en S y supongamos que
para todo p ∈ P se cumple π −1 (p) ={q, J(q)}, para cierto q ∈ S. Entonces
H k (P )=H k +(S).
Demostración: Basta probar que π ♯ :Λ(P ) −→ Λ+(S) es un isomorfismo.
Puesto que J ◦ π = π, tenemos que π ♯ ◦ J ♯ = π ♯ , luego la imagen de π ♯ (que en
principio estaría en Λ(S)) está enΛ+(S).
Para probar que es inyectiva tomemos ω ∈ Λ k (P ) no nula y veamos que su
imagen es no nula. Tenemos que existe p ∈ P y v1,...,vk ∈ Tp(P )demodo
que ω(p)(v1,...,vk) = 0. Sea p = π(q), con q ∈ S. El hecho de que π sea
un difeomorfismo local se traduce en que dπ(q) es un isomorfismo, con lo que
existen vectores w1,...,wk tales que dπ(q)(wi) =vi. Es claro entonces que
π ♯ (ω)(q)(w1,...,wk) =ω(p)(v1,...,vk) = 0,
luego π ♯ (ω) = 0.
Tomemos ahora ω ∈ Λ k +(S) y veamos que tiene una antiimagen. Fijemos un
punto p ∈ P . Sea q ∈ S tal que π(q) =p. Sea V un entorno de q en el cual π
sea un difeomorfismo. Sea ωp =(π| −1
V )♯ (ω| π[V ]), que es una k-forma en π[V ].
Veamos que ωp no depende de ninguna de las elecciones que hemos hecho
para construirla. Si p ′ es cualquier punto en π[V ]yq ′ es su antiimagen en V ,
entonces
ωp(p ′ )(v1,...,vk) =ω(q ′ )(dπ(q ′ ) −1 (v1),...,dπ(q ′ ) −1 (vk)). (11.3)