Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

368 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Una forma diferencial en un cubo S es simplemente una forma diferencial
definida en un abierto de R n que contenga a S. Consideraremos a dicho abierto
como variedad orientada, tomando a la identidad como carta positiva (con lo
que la base canónica de R n es positiva). En particular tenemos definida la
integral de una n-forma sobre un n-cubo.
Si ω es una n − 1-forma en un cubo S, donde n>1, vamos a definir la
integral de ω sobre ∂S. Para ello comenzamos definiendo la integral sobre cada
cara. Consideramos primero una forma de tipo
ω(x1,...,xn) =f(x1,...,xn) dx1 ∧···∧dxi−1 ∧ dxi+1 ∧···∧dxn.
La integral de ω sobre la cara S k j
(para j =1,...,n y k =0, 1) se define como
igual a 0 si j = i y en caso contrario mediante
S0
ω = f(x1,...,ai,...,xn) dx1 ···dxi−1 dxi+1 ···dxn,
i
C
ω = f(x1,...,bi,...,xn) dx1 ···dxi−1 dxi+1 ···dxn,
S 1 i
C
donde C =[a1,b1] ×···×[ai−1,bi−1] × [ai+1,bi+1] ×···×[an,bn].
Una n − 1-forma arbitraria se descompone de forma única en suma de n formas
del tipo anterior (en cada una de las cuales falta un dxi distinto). Definimos
su integral sobre la cara Sk i como la suma de las integrales de estas n formas.
Así tenemos definida
ω para cualquier n − 1-forma sobre S. La integral es
S k i
obviamente lineal en ω.
Finalmente definimos
∂S
ω =
n
(−1) i
i=1
S 0 i
ω −
S1
ω .
i
Conviene entender por qué esésta la definición co- Z
rrecta de integral sobre ∂S. Pensemos por ejemplo en
un cubo tridimensional. Según la fórmula las integrales
sobre caras opuestas se suman con signos opuestos. Concretamente
tienen signo positivo las dos que en la figura
Y
aparecen sombreadas más la situada sobre el plano XZ,
que no se ve. Nuestra intención es tratar al cubo como
si fuese una variedad con frontera. No lo es a causa de X
que la frontera tiene aristas donde no es diferenciable, pero a efectos de la integración
esto no va a afectar porque las aristas tienen área nula, y el teorema
de Stokes va a ser cierto también sobre el cubo. La orientación que debemos
imponer a la frontera en analogía con las variedades es la inducida por el vector
normal que apunta hacia fuera del cubo. Supongamos que queremos integrar
una forma de tipo f(x, y, z) dx ∧ dz. Es claro que sólo van a influir las caras con
y constante, pues dx es nula en las caras con x constante y dz es nula en las
caras con z constante.
Para integrar la forma sobre S1 y (la cara que en la figura queda a la derecha)
consideramos la carta X(x, z) =(x, y0,z). La base asociada en el plano tangente