Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.5. Continuidad 29
El lector debería preguntarse cómo se sabe que la gráfica de f tiene esta
forma y no otra. Más adelante veremos cómo determinar analíticamente las
características de la gráfica de una función, pero de momento nos bastará con
lo siguiente:
Para obtener una figura como la anterior, basta programar a un ordenador
para que calcule la función considerada sobre los suficientes números racionales,
digamos sobre los números de la forma k/100, donde k varía entre −200 y 200,
y dibuje un pequeño cuadrado con coordenadas x, f(x) . El resultado es una
gráfica como la que hemos mostrado. El proceso sólo involucra la aritmética de
los números racionales, que no tiene ninguna dificultad.
Vemos que la gráfica de f es una línea ondulada. Podemos considerarla
como una imagen “típica” de espacio homeomorfo a R. Se obtiene deformando
la recta “elásticamente”, sin cortarla ni pegarla. La aplicación f no es un
homeomorfismo, la gráfica muestra cómo transforma a R en su imagen: ésta
resulta de “aplastar” la curva sobre el eje vertical, con lo que R se “pliega”
sobre sí mismo, de modo que parte de sus puntos se superponen tres a tres.
Veamos ahora un ejemplo de gráfica de una función discontinua.
Ejemplo Consideremos la función f : R −→ [0, 1] dada por
⎧
⎨ 1 si x ≤ 0
f(x) = x
⎩
1
si 0