Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.4. Espacios de Hilbert 83
c) f está acotada en B1(0).
d) Existe un M ≥ 0 tal que para todo x ∈ E se cumple f(x) ≤Mx.
e) f es uniformemente continua en E.
Demostración: a) → b) es obvio.
b) → c), pues existe un δ>0 tal que x−0 ≤δ, entonces f(x)−f(0) ≤1.
Por lo tanto si x ≤1, se cumple δx≤δ, f(δx) ≤1, f(x) ≤1/δ, o
sea, que 1/δ es una cota de f en B1(0).
c) → d), pues si M es una cota de f en B1(0), dado cualquier x = 0se
cumple que x/x ∈B1(0), luego f(x/x) ≤M, de donde f(x) ≤Mx,
y esto también es cierto si x =0.
d) → e), pues para todos los x, y en E:
f(x) − f(y) = f(x − y) ≤Mx − y,
luego dado ɛ>0, si x − y