Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.2. Espacios tangentes, diferenciales 203
Obviamente X es de clase C ∞ . Su restricción a ]0, 2π[ × ]0, 2π[ es inyectiva
y cubre todos los puntos del toro excepto los de las circunferencias u =0y
v = 0. Si llamamos U al complementario de la unión de estas dos circunferencias
tenemos un abierto en R 3 , y es claro que con él se cumple la definición de
variedad. Igualmente se prueba que la restricción a ]−π, π[ × ]−π, π[ constituye
una carta para los puntos exceptuados. Así pues, el toro es una superficie
diferenciable de clase C ∞ . Sus meridianos son circunferencias de radio r.
La esfera menos dos puntos antípodas puede considerarse como la superficie
de revolución generada por la semicircunferencia (r sen φ, r cos φ), para
φ ∈ ]0,π[. La carta correspondiente es
X(φ, θ) =(r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ), φ ∈ ]0,π[ ,θ ∈ ]0, 2π[ .
Si p = X(φ, θ) entonces θ es la longitud de p en el sentido geográfico y φ
es la “colatitud”, es decir, el ángulo respecto al polo norte. Los meridianos y
paralelos coinciden con los geográficos. La carta no cubre los polos, aunque
girando la esfera obtenemos otra carta similar que los cubra.
Ejemplo: Producto de variedades Si S1 ⊂ Rm1 y S2 ⊂ Rm2 son variedades
entonces S1 × S2 ⊂ Rm1+m2 es también una variedad. Si X1 : U1 −→ V1 ∩ S1
es una carta alrededor de un punto p1 ∈ S1 y X2 : U2 −→ V2 ∩ S2 es una carta
alrededor de p2 ∈ S2, entonces X1 × X2 : U1 × U2 −→ (V1 × V2) ∩ (S2 × S2) dada
por (X1 × X2)(u1,u2) = X1(u1),X2(u2) es una carta alrededor de (p1,p2).
Sean πi : S1 × S2 −→ Si las proyecciones. Si la carta X1 tiene coordenadas
x1,...,xn1 y la carta X2 tiene coordenadas y1,...,yn2 , entonces las coordenadas
de X1 ×X2 son las funciones π1 ◦xi y π2 ◦yi, a las que podemos seguir llamando
xi e yi sin riesgo de confusión.
5.2 Espacios tangentes, diferenciales
Al principio de la sección anterior anticipábamos que los sistemas de coordenadas
en una variedad son un análogo a los sistemas de coordenadas en un
espacio afín. La diferencia principal es que en el caso afín las coordenadas están
definidas sobre todo el espacio, mientras que en una variedad las tenemos definidas
sólo en un entorno de cada punto. En esta sección desarrollaremos esta
analogía mostrando que toda variedad diferenciable se confunde en un entorno
de cada punto con una variedad afín. Para empezar, si p es un punto de una
variedad S, X es una carta alrededor de p y x es su sistema de coordenadas