Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.3. Funciones subharmónicas 437
luego ∆f(x2) ≤−2nc < 0, en contra de lo supuesto. Por consiguiente el máximo
de fB − h es menor o igual que 0yasí f es subharmónica.
Recíprocamente, si f es subharmónica en Ω pero ∆f 0 convergente a 0, entonces f es
subharmónica en Ω.
Demostración: Sea h la función harmónica en Br(x0) que coincide con f
en la frontera. Entonces
1
f(x0) ≤ h(x0) =
f(x) dσ.
r n−1 σn−1
x−x0=r
Veamos el recíproco. Sea x0 ∈ Ω y sea R>0 tal que BR(x0) ⊂ Ω. Sea h la
función harmónica en la bola que coincide con f en la frontera. Hemos de probar
que f ≤ h. Sea g = f − h y m su supremo en la bola cerrada. Hemos de ver que
es menor o igual que 0. Supongamos, por el contrario, que m>0. Como g es
nula en la frontera de la bola, el conjunto E = {x ∈ BR(x0) | g(x) =m} es un
subconjunto compacto de BR(x0). Sea x1 ∈ E tal que x1 − x0 sea máximo.
De este modo, para todo r suficientemente pequeño, al menos media esfera de
centro x1 y radio r está fuera de E. Tomando como r uno de los valores para
los que se cumple la desigualdad del enunciado obtenemos:
1
m = g(x1) =f(x1) − h(x1) ≤
(f(x) − h(x)) dσ
<
1
r n−1 σn−1
x−x1=r
r n−1 σn−1
mdσ = m,
x−x1=r
lo que prueba que m = 0, o sea, f ≤ h en la bola. Así pues, f es subharmónica.