Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.3. Sucesiones exactas 407
Notemos que la exactitud en M de una sucesión de la forma
N α
−→ M −→ 0
equivale a que α sea suprayectiva (en situaciones como ésta se entiende que la
flecha sin nombre representa al homomorfismo nulo, pues no hay otra posibilidad).
Igualmente, la exactitud en M de una sucesión
0 −→ M α
−→ N
equivale a que α sea inyectiva. Por consiguiente, una sucesión exacta de la forma
0 −→ M −→ N −→ 0
nos da que M y N son isomorfos. Las situaciones de este tipo son las que hacen
útiles a las sucesiones exactas. El resultado principal de esta sección es un teorema
que a partir de una sucesión exacta entre complejos nos permite construir
una sucesión exacta entre sus grupos de cohomología. Como aplicación obtendremos
la cohomología de las esferas. Veamos primero un resultado auxiliar.
Teorema 11.12 Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de módulos
y supongamos que sus filas son exactas.
Z ⏐
′1 φ′
−→ Z ⏐
′2 ψ′
−→ Z ′3 ⏐ −→ 0
⏐
∂1 ∂2 ∂3 0 −→ Z1 −→ Z
φ 2 −→ Z
ψ 3
Entonces existe un homomorfismo de módulos ∂ ∗ : N(∂ 3 ) −→ Z 1 / Im ∂ 1 tal que
la sucesión
N(∂ 1 ) φ′′
−→ N(∂ 2 ) ψ′′
−→ N(∂ 3 ) δ∗
−→ Z 1 / Im ∂ 1
¯φ
−→ Z 2 / Im ∂ 2
¯ψ
−→ Z 3 / Im ∂ 3
es exacta, donde φ ′′ y ψ ′′ son las restricciones de φ ′ y ψ ′ a N(∂ 1 ) y N(∂ 2 ) y ¯ φ,
¯ψ son los homomorfismos inducidos de forma natural.
Demostración: Es fácil comprobar que las aplicaciones φ ′′ , ψ ′′ , ¯ φ y ¯ ψ
están bien definidas, así como la exactitud de la sucesión en N(∂ 2 )yZ 2 / Im ∂ 2 .
Para definir δ ∗ tomamos c ′ 3 ∈ N(∂ 3 ). Entonces existe c ′ 2 ∈ Z ′2 tal que
c ′ 3 = ψ ′ (c ′ 2). Como ψ(∂ 2 (c ′ 2)) = ∂ 3 (ψ ′ (c ′ 2)) = ∂ 3 (c ′ 3) = 0, existe un c1 ∈ Z 1 tal
que φ(c1) =∂ 2 (c ′ 2).
Es claro que c ′ 2 es único módulo N(ψ ′ )=Imφ ′ , luego ∂ 2 (c ′ 2)esúnico módulo
φ[Im ∂ 1 ], luego c1 es único módulo Im ∂ 1 .
Por lo tanto podemos definir δ ∗ (c ′ 3)=c1 +Im∂ 1 . Es claro que, así definido,
es un homomorfismo de módulos. (Observar que en definitiva δ ∗ se calcula
eligiendo una antiimagen por ψ ′ , su imagen por ∂ 2 y una antiimagen por ψ.)
Es claro que Im ψ ′′ ⊂ N(δ ∗ ). Si c ′ 3 ∈ N(δ ∗ ) entonces c1 = ∂ 1 (c ′ 1), para
un cierto c ′ 1 ∈ Z ′ 1, luego ∂ 2 (c ′ 2) = φ(c1) = φ(∂ 1 (c ′ 1)) = ∂ 2 (φ ′ (c ′ 1)), con lo