Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.6. Espacios de funciones 93
En general el hecho de que una función sea límite
puntual de una sucesión de funciones aporta muy
poca información. La razón es que los entornos de
la topología puntual son muy grandes. En efecto, en
el caso de R R no es difícil ver que un entorno básico
de una función f es un conjunto de la forma
g ∈ R R |g(xi) − f(xi)| 0yx1,...,xn ∈ R, es decir, si una sucesión funcional tiende a f, lo
máximo que podemos garantizar tomando un índice grande es que los términos
de la sucesión se parecerán a f en un número finito de puntos, pero dos funciones
pueden parecerse en un número finito de puntos y ser muy diferentes.
Es mucho más natural considerar que dos funciones están próximas cuando
distan menos de un ɛ en todos los puntos a la vez. Por ello, si Y es un espacio
métrico, definimos la topología de la convergencia uniforme en Y X como la que
tiene por base de entornos abiertos de una función f a los conjuntos de la forma
B(f,ɛ) ={g ∈ Y X | d f(x),g(x) 0 existe un n0 tal que si n ≥ n0, entonces
d fn(x),f(x)