Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

380 Capítulo 10. El teorema de Stokes
aproximación de la integral
E(x) =−G
V
ρ(y)
(x − y) dm(y),
x − y3 donde V es un volumen que contiene a toda la masa que influye (el dominio de
ρ) y la integral de una función vectorial se interpreta como el vector formado
por la integral de cada componente. Ésta debe ser la expresión exacta de la
citada intensidad del campo. Un razonamiento similar con los potenciales nos
lleva a que el potencial gravitatorio en el punto x debe ser
ρ(y)
V (x) =−G
V x − y dm(y).
No obstante, todo esto nos plantea varios problemas. En primer lugar hemos
de justificar que las integrales existen, pues si x ∈ V el integrando tiende a
infinito en x. Por otra parte no es evidente que estas funciones cumplan E =
−∇V , que es la relación que debe darse para que V sea una función potencial
de E. Los resultados que vamos a obtener pueden darse en un contexto general:
Definición 10.18 Sea Ω ⊂ R n (con n ≥ 3) un abierto acotado y f una función
medible acotada en Ω. Llamaremos potencial newtoniano asociado a f ala
función
Vf (x) =
Ω
f(y)
x − y n−2 dm(y), para x ∈ Rn .
El teorema 9.23 garantiza que el integrando es realmente integrable en Ω,
porloqueVfestá bien definido. Sea g(x, y) =x − y2−n . Es claro que g es
de clase C1 en (Rn \ Ω) × Ω, luego el teorema 7.23 nos garantiza2 que Vf es de
clase C1 en Rn \ Ω y sus derivadas valen
∂Vf
f(y)
(x) =−(n − 2)
∂xi
Ω x − yn (xi − yi) dm(y), (10.5)
Vamos a probar que esta expresión vale igualmente en Ω. Por lo pronto
observemos que el integrando del segundo miembro es ciertamente integrable.
Basta tener en cuenta que
|xi − yi|
≤ 1,
x − y
con lo que el integrando está mayorado por la función integrable K/x − yn−1 .
Para cada natural k ≥ 1 consideremos la función ak :[0, +∞[ −→ R dada
por
⎧
⎨ 1 n − 2
+
ak(r) = kn−2 k
⎩
n−3
1
r − si r