Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

118 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
Similarmente, si y(x) es una función inyectiva y derivable con derivada no
nula, su inversa se representa por x(y), y el teorema de la función inversa se
expresa así:
Por ejemplo,
dv
dt
dy
dx
= 1
dt
dv
1
= .
dx
dy
= 1
1/2 =2.
Vemos, pues, que en estos términos las propiedades de las derivadas son
formalmente análogas a las de las fracciones.
3.5 El teorema de Taylor
Sea f : A −→ R una función derivable en el abierto A y tal que f ′ : A −→ R
también sea derivable en A. Entonces a la derivada de f ′ se la denomina derivada
segunda de f en A, y se representa por f ′′ .
A su vez la derivada segunda puede ser derivable, y entonces está definida la
derivada tercera, y así sucesivamente. Si una función admite n derivadas en A,
a la derivada n-sima se la representa por f n) : A −→ R.
Conviene usar la notación f 0) para referirse a la propia función f.
Llamaremos C n (A) al conjunto de las funciones definidas en A que admiten n
derivadas y todas ellas son continuas en A. Si llamamos C 0 (A) =C(A), es decir,
al conjunto de las funciones continuas en A, entonces tenemos
C 0 (A) ⊃ C 1 (A) ⊃ C 2 (A) ⊃ C 3 (A) ⊃ C 4 (A) ⊃···
Llamaremos C ∞ (A) al conjunto de las funciones infinitamente derivables
en A. Por ejemplo, los polinomios y las fracciones algebraicas son de clase C ∞
en su dominio. Es inmediato que estos conjuntos son todos subálgebras de C(A).
Las inclusiones son todas estrictas. Por ejemplo, si a ∈ A es fácil ver que la
función dada por
f(x) =
(x − a) n+1 si x ≥ a
−(x − a) n+1 si x ≤ a
es una función de clase C n (A) pero no de clase C n+1 (A).
Según sabemos, si una función f es derivable en un punto a, entonces alrededor
de a la función f puede ser aproximada por su recta tangente, esto es,
por el polinomio f(a) +f ′ (a)(x − a). La recta tangente es el único polinomio
P (x) de grado 1 que cumple P (a) =f(a) yP ′ (a) =f ′ (a).
Cabe suponer que si una función f admite dos derivadas y tomamos un
polinomio P de grado 2 tal que P (a) =f(a), P ′ (a) =f ′ (a) yP ′′ (a) =f ′′ (a),
el polinomio P nos dará una aproximación mejor de la función f que la recta
tangente. Esto no siempre es así, pero hay bastante de verdad en ello. Vamos
a investigarlo.