Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

92 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
2.6 Espacios de funciones
Uno de los éxitos de la topología consiste en que sus técnicas, desarrolladas en
principio para estudiar espacios “geométricos” como K n , se aplican igualmente
a objetos más abstractos, como son los conjuntos de funciones entre espacios
topológicos. Las definiciones siguientes no corresponden en realidad a conceptos
nuevos desde un punto de vista topológico:
Definición 2.52 Sea Y un espacio topológico y X un conjunto cualquiera. Una
sucesión funcional de X en Y es una sucesión {fn} ∞ n=0 en el espacio Y X de todas
las aplicaciones de X en Y , es decir, para cada n se cumple fn : X −→ Y .
Si Y es un espacio vectorial topológico (en especial si Y = K) cada sucesión
funcional define la correspondiente serie funcional ∞
fn, es decir, la sucesión
n=0
cuyos términos son las funciones Sn = n
fk : X −→ Y .
k=0
Diremos que una sucesión funcional {fn} ∞ n=0 converge puntualmente a una
función f ∈ Y X si para todo x ∈ X se cumple lím fn(x) =f(x). En tal caso
n
escribiremos lím fn = f. Para series de funciones podemos definir de manera
n
obvia la convergencia puntual absoluta y la convergencia puntual condicional.
En realidad no estamos introduciendo un nuevo concepto de convergencia.
Notemos que Y X es el producto cartesiano del espacio Y por sí mismo tantas
veces como elementos tiene X, luego podemos considerarlo como espacio topológico
con la topología producto. Las sucesiones convergen en esta topología
si y sólo si convergen coordenada a coordenada, o sea, si y sólo si convergen
puntualmente. Por ello a la topología producto en Y X se la llama también
topología de la convergencia puntual.
Sin embargo, la convergencia puntual no es la convergencia más natural que
puede definirse sobre las sucesiones funcionales. De hecho presenta grandes
inconvenientes.
Ejemplo Para cada n ≥ 1 sea fn : R −→ R la función dada por
⎧
⎨ 0 si x ≤ 0
fn(x) = nx
⎩
1
si 0 ≤ x ≤ 1/n
si 1/n ≤ x
Si x ≤ 0 entonces fn(x) es constante igual a 0 y si
x>1 entonces fn(x) es finalmente constante igual a 1,
luego esta sucesión funcional converge puntualmente a la
función f que muestra la figura de la izquierda. Tenemos,
pues, una sucesión de funciones continuas cuyo límite puntual no es continuo.
1/n