Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.4. La diferencial de una función 115
Si en los dos últimos factores dividimos numerador y denominador entre f(x)
y g(x) respectivamente, queda claro que tienden a 1 cuando x → +∞, luego
tomando N suficientemente grande podemos suponer que si x>N entonces el
producto de ambos dista de 1 menos de ɛ. De este modo, para x suficientemente
grande, el cociente f(x)/g(x) se puede expresar como producto de dos números
reales, uno arbitrariamente próximo a L y otro arbitrariamente próximo a 1.
De la continuidad del producto se sigue que
f(x)
lím = L.
x→+∞ g(x)
Naturalmente la regla de L’Hôpital también es válida en el caso ∞/∞ cuando
x →−∞. El mismo argumento que nos ha permitido pasar del caso finito al
caso infinito en la indeterminación 0/0 nos permite pasar ahora al caso finito.
Es fácil probar:
Teorema 3.20 (Regla de L’Hôpital) Sean f, g :]a, b[ −→ R derivables tales
que lím f(x) = lím g(x) =∞ ydemodoquegy g
x→a x→a ′ no se anulan en ]a, b[. Si
existe
entonces también existe
f
lím
x→a
′ (x)
g ′ = L,
(x)
f(x)
lím = L.
x→a g(x)
También se cumple la versión correspondiente cuando x tiende a b y cuando
x tiende a un punto por la izquierda y la derecha a la vez.
3.4 La diferencial de una función
Consideremos una función f : A −→ R derivable en un punto a ∈ A. Sea
∆x un número próximo a 0 de modo que a +∆x ∈ A (el término ∆x se lee
“incremento de x”, porque representa un pequeño aumento de la variable x
en el punto a). Al calcular f en el punto a +∆x obtenemos una variación o
incremento de f dado por ∆a(f) =f(a +∆x) − f(a). La expresión ∆a(f)
representa a una función de la variable ∆x, definida en un entorno de 0. La
derivada de f en a es, por definición,
Llamemos
Así, lím
∆x→0 ɛa(∆x) =0.
f ′ ∆a(f)
(a) = lím
∆x→0 ∆x .
ɛa(∆x) = ∆a(f)
∆x − f ′ (a).