Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

214 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
Por ejemplo, la longitud de un arco de paralelo (u0,t), donde t ∈ [0,k]es
k
0
ds =
k
0
(R + r cos u0) dt =(R + r cos u0)k,
como era de esperar, dado que el paralelo es un arco de circunferencia de radio
R + r cos u0.
Ejercicio: Calcular los coeficientes del tensor métrico del cilindro, el cono y la esfera.
Definición 5.18 Diremos que un difeomorfismo f : S −→ T entre dos variedades
es una isometría si para todo arco α contenido en S se cumple que α ◦ f
tiene la misma longitud. 4
Explícitamente, si f es una isometría y α :[a, b] −→ S es un arco y α(t0) =p,
entonces t
α ′ t
(x) dx = (α ◦ f) ′ (x) dx,
a
a
y derivando resulta
α ′ (t0) = (α ◦ f) ′ (t0) = df (p) α ′ (t0) .
Ahora bien, todo vector no nulo de Tp(S) es de la forma α ′ (t0) para un cierto
arco α, luego tenemos que df (p) :Tp(S) −→ Tf(p)(T ) es una isometría para todo
punto p. Igualmente se prueba el recíproco.
Ejercicio: Probar que las isometrías de R n en R n en el sentido que acabamos de
definir coinciden con las isometrías en el sentido del álgebra lineal.
Si f es una isometría, X es una carta alrededor de p con X(x) =p y llamamos
Y = X ◦ f, es claro que Y es una carta alrededor de f(p). Además tenemos que
DiY (x) =dY (x)(ei) =df (p) dX(x)(ei) = df (p)(DiX(x)), de donde se sigue
que los coeficientes del tensor métrico son iguales en ambas cartas, es decir,
gij(x) =DiX(x)DjX(x) =DiY (x)DjY (x).
Similarmente se concluye que si dos variedades tienen cartas con un mismo dominio
y con los mismos coeficientes gij del tensor métrico entonces los fragmentos
de superficie cubiertos por las cartas son superficies isométricas.
Ejemplo Consideremos la carta del cilindro dada por
X(u, v) = r cos v v
,rsen
r r ,u .
El elemento de longitud del cilindro es, en esta carta, ds2 = du2 + dv2 ,
que es exactamente la misma que la del plano con la identidad como carta. La
aplicación X no es una isometría porque no es biyectiva, pero sí es una isometría
local, en el sentido de que todo punto del plano tiene un entorno V de modo
que la restricción de X es una isometría entre U y X[U]. Así pues, un cilindro
es localmente isométrico a un plano.
4En el capítulo siguiente probaremos que toda curva de clase C1 es rectificable. Consideraremos
que esta definición se aplica a curvas y aplicaciones de clase C1 , con lo que siempre
tendremos garantizado el carácter rectificable.