Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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462 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo Ecuación homogénea tridimensional A continuación nos ocupamos del problema ⎫ ∂ 2 u ∂t 2 = v2 ∆u u(x, 0) = φ(x) ∂u (x, 0) = ψ(x) ∂t donde ahora x ∈ R 3 . Es natural conjeturar que una solución de esta ecuación vendrá dada por una fórmula que generalice de algún modo a (13.16). El primer término de (13.16) es la media de los valores iniciales de u en los puntos x ± vt, por lo que es razonable conjeturar que en el caso tridimensional aparecerá la media del estado inicial de u sobre la esfera de centro x y radio vt. Por ello conviene introducir la media esférica de una función u : R 3 −→ R como la función M(u)(x, r) = 1 4πr 2 y−x=r ⎪⎬ ⎪⎭ u(y) dσ(y) = 1 u(x + rξ) dσ(ξ), 4π ξ=1 donde σ representa la medida de Lebesgue en la esfera de radio r en la primera integral y en la esfera de radio 1 en la segunda. Para justificar el cambio de variable consideramos la aplicación f(ξ) =x+rξ y observamos que el plano tangente a la esfera de centro x y radio r en un punto x+rξ coincide con el plano tangente a la esfera de centro 0 y radio 1 en el punto ξ, y para todo par de vectores u, v en dicho plano. f ♯ (dσr)(ξ)(u, v) =dσr(x + rξ)(ru, rv) =r 2 dσr(x + rξ)(u, v) =r 2 dσ1(ξ)(u, v), pues dσr(x + rξ)(u, v) ydσ1(ξ)(u, v) son ambos el área del paralelogramo de lados u y v. Por consiguiente f ♯ (dσr) =r 2 dσ1 y basta aplicar el teorema 9.22. Observemos que la segunda integral en la definición de M(u) está definida para todo valor de r, no necesariamente positivo. De hecho es fácil ver que M(u)(x, r) =M(u)(x, −r). Además M(u)(x, 0) = f(x). La primera integral conecta directamente con el problema que estamos estudiando, pero la segunda es más fácil de manejar. Por ejemplo, nos permite calcular la derivada ∂ 1 M(u)(x, r) = ∇u(x + rξ)ξdσ(ξ). ∂r 4π ξ=1 Notemos que ξ coincide con el vector normal unitario a la esfera en el punto ξ, luego la última integral es el flujo del campo ∇u(x + rξ). Podemos aplicar el teorema de la divergencia y resulta: ∂ r M(u)(x, r) = ∂r 4π = 1 4πr 2 ξ
13.4. La ecuación de ondas 463 Supongamos ahora que u(x, t) es una solución de la ecuación de ondas. Entonces las medias M(u)(x, r, t) tienen a t como parámetro. Sustituyendo ∆u por el valor que da la ecuación de ondas podemos continuar el cálculo anterior (para r>0): = ∂ 1 M(u)(x, r, t) = ∂r 4πr2 y−x
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