Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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262 Capítulo 7. Teoría de la medida luego las funciones sn son simples y, tomando límites, es obvio que la sucesión converge puntualmente a f. Definición 7.11 Sea X un espacio medida y s = n i=1 en X. Definimos la integral de s en X como n sdµ= αiµ(Ai) ∈ [0, +∞], X i=1 αiχAi una función simple con el convenio de que +∞·0=0. Si E es un subconjunto medible de X, entonces s|E = n αiχAi∩E, donde i=1 las funciones características se toman ahora sobre E. Por lo tanto n s|E dµ = ai µ(Ai ∩ E). E i=1 Por otro lado sχE = n αiχAi∩E (con las funciones características en X), luego i=1 concluimos que n sdµ= sχE dµ = αi µ(Ai ∩ E), E X i=1 es decir, que a efectos de integración podemos adoptar consistentemente el convenio explicado antes por el que identificamos la función s|E con sχE. Ahora necesitamos el siguiente resultado técnico, que después generalizaremos notablemente. Teorema 7.12 Sea X un espacio medida. a) Sea s una función simple en X. Para cada subconjunto medible E de X definimos ν(E) = sdµ. Entonces ν es una medida en X. E b) Si s y t son funciones simples en X se cumple (s + t) dµ = sdµ+ X X X t dµ. Demostración: a) Sea s = n αiχAi. Claramente ν(∅) = 0. Sea E = ∞ Ej una unión disjunta de conjuntos medibles. Entonces j=1 ν(E) = = i=1 n αiµ(Ai ∩ E) = i=1 j=1 i=1 n αi i=1 j=1 ∞ µ(Ai ∩ Ej) ∞ n ∞ αiµ(Ai ∩ Ej) = ν(Ej). j=1
7.3. La integral de Lebesgue 263 b) Sean s = n αiχAi y t = m βjχBj . Llamemos Eij = Ai ∩ Bj. Así, tanto i=1 j=1 s como t son constantes en los conjuntos Eij (s toma el valor αi y t el valor βj). Por lo tanto (s + t) dµ =(αi + βj)µ(Eij) =αiµ(Eij)+βjµ(Eij) = sdµ+ t dµ. Eij Como los conjuntos Eij son disjuntos dos a dos y su unión es X, la parte a) nos da que la igualdad se cumple para integrales en X. En particular notamos que si s ≤ t son funciones simples en un espacio medida X, entonces t − s también es una función simple y sdµ≤ sdµ+ (t − s) dµ = t dµ. X X En particular se cumple que tdµ= sup sdµ| s es una función simple, s ≤ t . X Esto hace consistente la siguiente definición: X Definición 7.13 Sea X un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] una función medible. Definimos la integral de f como fdµ= sup sdµ| s es una función simple, s ≤ f ∈ [0, +∞]. X X X Observar que si E es un subconjunto medible de X, sises una función simple en E por debajo de f|E, su extensión a X (nula fuera de E) es una función simple bajo fχE, y la restricción a E de una función simple en X bajo fχE es una función simple en E bajo f|E. De aquí se sigue que fdµ= fχE dµ, E pues ambas integrales son el supremo del mismo conjunto de números reales. Las propiedades siguientes son inmediatas a partir de la definición: Teorema 7.14 Sea X un espacio medida y E un subconjunto medible de X. a) Si 0 ≤ f ≤ g son funciones medibles en X, entonces fdµ≤ X X gdµ. b) Si f ≥ 0 es una función medible en X y A ⊂ B son subconjuntos medibles de X, entonces fdµ≤ A B fdµ. c) Si f ≥ 0 es una función medible en X y f|E =0, entonces E fdµ=0 (aunque sea µ(E) =+∞). X X Eij Eij
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