Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

13.1. Electrostática 447
cada una de las innumerables cargas eléctricas del medio para estudiar sus efectos.
Afortunadamente, cuando las cargas del medio están distribuidas de forma
homogénea, sin ninguna estructura destacada, como ocurre en un fluido (aire,
agua, etc.) o el seno de un metal —y éstos son los casos de mayor interés—
su efecto consiste únicamente en una atenuación de las fuerzas eléctricas, de
modo que la ley de Coulomb sigue siendo válida sin más que sustituir la constante
ɛ0 por otra constante ɛ dependiente del medio. Concretamente se suele
escribir ɛ = ɛrɛ0, donde ɛ recibe el nombre de permisividad del medio, ɛr es la
permisividad relativa del mismo y, naturalmente, ɛ0 es la permisividad del vacío.
En el seno de estructuras materiales más complejas, como las sustancias
cristalinas, las distorsiones de la ley de Coulomb son más drásticas, pues la
distribución geométrica de los iones hace que pequeños campos eléctricos locales
se acumulen hasta hacerse notables a nivel macroscópico. Este fenómeno se
conoce como polarización eléctrica del medio. Comentaremos algo más sobre
los efectos de la polarización, pero antes conviene introducir algunos conceptos
adicionales.
En lugar de la fuerza que se ejercen dos partículas conviene hablar del campo
eléctrico generado por una partícula: la intensidad del campo eléctrico en un
punto del espacio es la fuerza que experimentaría una partícula con 1 culombio
de carga (positiva) que estuviera situada en dicho punto. Si la carga Q que
genera el campo está situada en la posición y, entonces el campo eléctrico en el
punto x es
E(x) = 1 Q
4πɛ x − y3(x − y).
El vector de inducción eléctrica generada por una carga Q se define como
D(x) = 1 Q
4π x − y3(x − y).
De este modo, salvo por la constante ɛ0, el vector D nos da el campo eléctrico
que induce la carga Q sin tener en cuenta la acción del medio. Si el medio es
homogéneo tenemos la relación E = D/ɛ. En el seno de un elemento cristalino,
donde la polarización se debe a una estructura geométrica simple, las propiedades
del vector D siguen siendo válidas (pues hacen referencia a lo que ocurriría
en el vacío) y el único cambio es que el campo eléctrico total es de la forma
E = D/ɛ + P , donde P es un vector de polarización que depende de la estructura
del cristal. En medios más irregulares la relación entre la inducción
D y el campo real E que aparece a causa de la influencia del medio puede ser
mucho más compleja. En lo que sigue nos limitaremos a considerar el caso en
que E = D/ɛ.
Puesto que la fuerza total que actúa sobre una partícula es la suma vectorial
de las fuerzas que actúan sobre la misma, el campo eléctrico generado por un
número finito de partículas es la suma de los campos que genera cada una de
ellas. Como en el caso de la gravitación, podemos generalizar la ley de Coulomb
para determinar el campo eléctrico determinado por una distribución continua
de cargas en el espacio. Llamemos ρ aladensidad de carga, es decir, la función