Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

Capítulo XII
Funciones Harmónicas
Las funciones harmónicas las introdujimos en el capítulo X, donde obtuvimos
algunas de sus propiedades más importantes a partir de las fórmulas de Green.
Recordemos que una función f de clase C 2 en un abierto de R n es harmónica si
cumple la ecuación ∆f = 0, conocida como ecuación de Laplace. Las funciones
harmónicas aparecen en muchos problemas físicos. Ya hemos visto su relación
con los potenciales newtonianos. Por citar otro ejemplo, si V es la velocidad
de un fluido incompresible (con densidad constante) sin fuentes ni sumideros
(div V = 0) e irrotacional (rot V = 0, lo que equivale a que no forma remolinos),
entonces V = ∇φ, para una cierta función φ tal que ∆φ = div V = 0, es decir,
el campo de velocidades se deriva de un potencial harmónico.
Es obvio que las funciones harmónicas de una variable son exactamente
las de la forma f(x) =ax + b. Más en general, todas las aplicaciones afines
son harmónicas. Las propiedades básicas de las funciones harmónicas pueden
verse como generalización de propiedades obvias de las rectas. Por ejemplo,
si conocemos los valores que toma una recta en los extremos de un intervalo
conocemos también los valores que toma en el interior del mismo. Igualmente
sucede que una función harmónica en un abierto acotado está determinada por
los valores que toma en la frontera. Esto lo probamos en el capítulo X, al igual
que esta relación más concreta:
Teorema 12.1 (Teorema del valor medio de Gauss) Si x0 ∈ Rn y una
función f : Br(x0) −→ R es continua en Br(x0) y harmónica en ∂Br(x0),
entonces
1
f(x0) =
σ(∂Br(x0))
f(x) dσ.
∂Br(x0)
Esta propiedad generaliza al hecho obvio de que una recta toma en el centro
de un intervalo la media aritmética de los valores que toma en sus extremos.
Paralelamente a estos resultados de unicidad, existen resultados de existencia,
es decir, dada una función continua sobre la frontera de un abierto Ω, ¿puede
extenderse a una función harmónica en Ω y continua Ω? Esta cuestión se conoce
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