Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

298 Capítulo 8. Teoría de la medida II
lema de Fatou tenemos
|f − fm|
X
p
dµ ≤ lím |fn − fm|
n X
p dµ ≤ ɛ p .
Esto significa que f − fmp ≤ ɛ, de donde fp ≤fk + ɛ y por lo tanto
f ∈ Lp (µ). También es claro ahora que f es el límite en Lp (µ) de la sucesión
dada.
En la prueba del teorema anterior hemos visto lo siguiente:
Teorema 8.16 Toda sucesión que converge en un espacio L p (µ) a una función
f, tiene una subsucesión que converge puntualmente a f.
En el caso de los espacios L 2 (µ) todavía podemos decir más:
Teorema 8.17 Sea X un espacio medida. Entonces L2 (µ) es un espacio de
Hilbert con el producto escalar dado por
fg = fg dµ.
X
Demostración: La integral que define el producto escalar es finita, pues
por la desigualdad de Hölder cumple en realidad que |fg|≤f2g2. Claramente
es bilineal y la norma que induce es precisamente la de L 2 (µ).
Ejercicio: Sea µ la medida en {1,...,n} en la que cada punto tiene medida 1. Probar
que L p (µ) =R n y que las normas 1 y 2 son las definidas en el capítulo I.
Terminamos el estudio de los espacios L p (µ) con dos teoremas de densidad:
Teorema 8.18 Sea X un espacio medida. Sea S la clase de las funciones
simples que son nulas salvo en un conjunto de medida finita. Entonces S es un
subconjunto denso de L p (µ) para 1 ≤ p