Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.7. La función exponencial 131
Según hemos visto en la sección anterior, la función definida por la serie es
derivable, y su derivada se obtiene derivando cada monomio, es decir, se trata
de la serie geométrica
∞
n=1
(−1) n+1 x n−1 =
∞
(−x) n = 1
1+x .
Resulta, pues, que la serie de Taylor y la función log(1 + x) tienen la misma
derivada en ]−1, 1[. Por lo tanto la diferencia entre ambas funciones es una
constante, pero como ambas toman el valor 0 en 0, se concluye que
para todo número x ∈ ]−1, 1[.
log(1 + x) =
n=0
∞ (−1) n
n=1
n xn
Ejercicio: Estudiando el resto de Taylor de la función log(1 + x), probar que
∞ (−1) n
= log 2.
n
n=1
Para calcular el logaritmo de un número x>2 podemos usar la relación
log(1/x) =− log x.
Ahora podemos definir ax para cualquier base a>0. La forma más fácil de
hacerlo es la siguiente:
Definición 3.34 Sea a>0yx ∈ R. Definimos a x = e x log a .
Notar que, como log e = 1, en el caso a = e la exponencial que acabamos
de definir coincide con la que ya teníamos definida. Sin embargo la función
e x se diferencia de las otras exponenciales en que está definida sobre todo el
plano complejo y no sólo sobre la recta real. Más adelante interpretaremos
esta extensión compleja. Las funciones exponenciales verifican las propiedades
siguientes:
a x+y = e (x+y)loga = e x log a e y log a = a x a y ,
log a x = log e x log a = x log a,
(a x ) y =
y log ax
e = e xy log a = a xy
a 0 = 1, a 1 = a, a −x =1/a x .
Así mismo es claro que a x coincide con la exponenciación usual cuando x es
un número entero y que sobre números racionales es a p/q = q√ a p . La función
y x considerada como función de dos variables en ]0, +∞[ × R es continua.
La derivada de a x es (log a)a x , la derivada de x b es
b log x b 1
e =
x x bxb = bx b−1 .