Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

34 Capítulo 1. Topología
la inversa es continua, pero no merece la pena el esfuerzo, pues en el capítulo
siguiente (ver 2.12) será evidente a partir de lo que ya hemos probado. La conclusión
es, pues, que la proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la
esfera con la topología euclídea y la recta compleja con la topología proyectiva.
De aquí se sigue fácilmente que si dotamos al plano hiperbólico de la topología
relativa (es decir, si dotamos al plano de Klein con la topología euclídea)
entonces la topología correspondiente en el círculo y en el semiplano de Poincaré
es también la euclídea. Teniendo en cuenta que los círculos de centro 0 en el
plano de Klein coinciden con los euclídeos (y que las isometrías son obviamente
homeomorfismos) es claro que la esta topología es la inducida por la métrica
hiperbólica.
1.6 Límites de funciones
El concepto de límite es, junto al de continuidad, uno de los conceptos más
importantes a los que la estructura topológica sirve de soporte. Para comprender
su contenido podemos considerar la función f : R 2 \ (0, 0) −→ R dada por
f(x, y) =x 2
2
− 1
x2 + y2 .
Esta expresión no tiene sentido cuando (x, y) =(0, 0), por lo que es natural
preguntarse si la gráfica de f mostrará alguna particularidad que explique por
qué no puede ser calculada en este punto. He aquí dicha gráfica:
Su aspecto es el de una superficie homeomorfa a R2 , pero sabemos que no
está definida en (0, 0). De hecho la gráfica hace pensar que f(0, 0) = 0. La
explicación es que la función f : R2 −→ R definida mediante
⎧
⎨
x
f(x, y) =
⎩
2
√ 2 − 1 si (x, y) = (0, 0),
x2 +y2 0 si (x, y) =(0, 0)
es continua, aunque esto no es evidente y, de hecho, no estamos en condiciones de
probarlo ahora. Si queremos expresar la situación en términos de la expresión
original de f, no definida en (0, 0), habremos de decir que f transforma los