Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

256 Capítulo 7. Teoría de la medida
Teorema 7.3 Sea X un conjunto µ : A −→ [0, +∞] una medida definida sobre
una σ–álgebra de subconjuntos de X. Sea
B = {A ⊂ X | existen B,C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C y µ(C \ B) =0}.
Entonces B es una σ-álgebra de subconjuntos de X que contiene a A y µ se
extiende a una única medida en B, que es completa.
Demostración: Si A ∈ A es claro que A ∈ B. Basta tomar B = C = A.
Así pues A ⊂ A, luego en particular ∅,X ∈ B.
Si A ∈ B, sean B,C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C y µ(C \ B) = 0. Entonces
X \ C ⊂ X \ A ⊂ X \ B, y claramente X \ C, X \ A ∈ A y
µ (X \ C) \ (X \ B) = µ(B \ C) =0.
Por lo tanto X \A ∈ B. Para probar que B es una σ-álgebra basta probar que la
unión numerable de elementos de B está enB. Sea, pues, {An} ∞ n=0 una familia
de elementos de B. Sean {Bn}n y {Cn}n según la definición de B. Entonces
∞
n=0
Bn ⊂
∞
n=0
An ⊂
∞
Cn,
n=0
los conjuntos de los extremos están en A y
∞
0 ≤ µ
∞
\
∞
≤ µ
n=0
Cn
n=0
Bn
n=0
Cn \ Bn
=0.
Por lo tanto ∞
An ∈ B. Esto prueba que B es una σ-álgebra.
n=0
Si A ∈ B y B,C son los conjuntos dados por la definición, es claro que
µ(B) =µ(C). Veamos que podemos extender la medida µ definiendo µ(A) =
µ(B) = µ(C). Es claro que esta es la única extensión posible. En efecto,
si B ′ y C ′ también cumplen la definición, entonces B \ B ′ ⊂ C ′ \ B ′ , luego
µ(B \ B ′ ) ≤ µ(C ′ \ B ′ ) = 0, de donde µ(B \ B ′ )=0yµ(B) =µ(B ′ ), luego B
y B ′ dan lugar al mismo valor de µ(A).
Veamos que la extensión de µ que acabamos de definir es realmente una
medida. Para ello tomamos una familia {An} ∞ n=0 de elementos de B disjuntos
dos a dos. Sean {Bn} y {Cn} elementos de A que satisfagan la definición de B.
Según hemos visto, los conjuntos ∞
Bn y
n=0
∞
Cn justifican que
n=0
∞
An ∈ B y
n=0
es claro que los Bn son disjuntos dos a dos, luego
∞
∞
∞
∞
µ = µ
= µ(Bn) = µ(An).
n=0
An
n=0
Bn
Es claro que la medida en B es completa, pues si A ∈ B es nulo y D ⊂ A,
entonces tomamos B,C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C con µ(B) =µ(C) =0.
Claramente ∅ ⊂ D ⊂ C y µ(C \ ∅) = 0, luego D ∈ B.
n=0
n=0