Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.5. Continuidad 23
Esto significa que la continuidad es una propiedad local, es decir, el que una
función sea continua o no en un punto es un hecho que sólo depende del comportamiento
de la función en un entorno del punto. En particular, si cubrimos un
espacio topológico por una familia de abiertos, para probar que una aplicación
es continua basta ver que lo es su restricción a cada uno de los abiertos. Esto es
cierto también si cubrimos el espacio con cerrados a condición de que sean un
número finito.
Teorema 1.51 Sea f : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos.
Sean C1,...,Cn subconjuntos cerrados de X tales que X = C1 ∪···∪Cn.
Entonces f es continua si y sólo si cada f|Ci es continua.
Demostración: Una implicación es obvia. Si las restricciones son continuas,
entonces dado un cerrado C de Y , se cumple que
f −1 [C] =(f −1 [C] ∩ C1) ∪···∪(f −1 [C] ∩ Cn) =(f|C1 )−1 [C] ∪···∪(f|Cn )−1 [C].
Ahora, cada (f|Ci) −1 [C] es cerrado en Ci, luego es la intersección con Ci de
un cerrado de X, luego es la intersección de dos cerrados en X, luego es cerrado
en X. Así pues, f −1 [C] es la unión de un número finito de cerrados de X, luego
es cerrado en X. Esto prueba que f es continua.
Teorema 1.52 Si {Xi}i∈I es una familia de espacios topológicos, las proyecciones
pi :
Xi −→ Xi son funciones continuas.
i∈I
Demostración: Las antiimágenes de abiertos en Xi son abiertos básicos
del producto.
Ejercicio: Probar que la topología producto es la menor topología que hace continuas
a las proyecciones.
Teorema 1.53 Si {Xi}i∈I es una familia de espacios topológicos y X es un
espacio topológico, entonces una aplicación f : X −→
Xi es continua si y
sólo si lo son todas las funciones fi = f ◦ pi.
i∈I
Demostración: Si f es continua las funciones f ◦ pi también lo son por ser
composición de funciones continuas.
Si cada f ◦ pi es continua, sea A =
Ai un abierto básico del producto.
i∈I
Sean i1,...,in los índices tales que Aij = Xij . Entonces f −1p −1
ij [Aij ] =
(f ◦ pij ) −1 [Aij ] es abierto en X, pero
es abierto en X.
A =
n
j=1
p −1
ij [Aij ] y f −1 [A] =
n
j=1
f −1 p −1
[Aij ]
ij