Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

222 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
Demostración: Es claro que X es una carta alrededor de p y α es una
curva contenida en S que pasa por p con vector tangente w, entonces la representación
de α en la carta X es X −1 ◦ α, luego el vector tangente de esta
representación —el que en la discusión previa al teorema llamábamos (u ′ ,v ′ )—
es du(p)(w),dv(p)(w) , donde ahora u y v son las funciones coordenadas de X.
Así pues, la fórmula que habíamos obtenido nos da que
κn(p)(w) = e(p) du(p)2 (w)+2f(p) du(p)(w)dv(p)(w)+g(p) dv(p) 2 (w)
E(p) du(p) 2 (w)+2F (p) du(p)(w)dv(p)(w)+Gdv(p) 2 (w) ,
entendiendo aquí ae, f, g como las composiciones con X −1 de las funciones del
mismo nombre que teníamos definidas.
Definición 5.26 El elemento de longitud de una superficie S se conoce también
con el nombre que le dio Gauss: la primera forma fundamental de S. Definimos
la segunda forma fundamental de S como la aplicación que a p ∈ S y cada vector
w ∈ Tp(S) le asigna la curvatura normal en p de las curvas contenidas en S que
pasan por p con tangente w multiplicada por w 2 .
El teorema anterior prueba que la segunda forma fundamental es en cada
punto puna forma cuadrática definida sobre Tp(S). Concretamente, si fijamos
una carta tenemos
F 1 = Edu 2 +2F dudv + Gdv 2 , F 2 = edu 2 +2f dudv + gdv 2 .
Ambas formas cuadráticas pueden considerarse definidas tanto sobre la superficie
S como sobre el dominio de la carta (en cuyo caso du y dv representan
simplemente las proyecciones de R 2 ). Sin embargo, una diferencia importante es
que, aunque las expresiones anteriores son válidas únicamente sobre el rango de
una carta, la primera forma fundamental está definida sobre toda la superficie
y está completamente determinada por la misma, mientras que la segunda sólo
la tenemos definida en un entorno de cada punto y además salvo signo.
Para calcular explícitamente la segunda forma fundamental de una superficie
notamos que
e igualmente
Xu ∧ Xv
e = Xuun = Xuu
Xu ∧ Xv
(Xuu,Xu,Xv)
= √ ,
EG − F 2
f = (Xuv,Xu,Xv) (Xvv,Xu,Xv)
√ , g = √
EG − F 2 EG − F 2 .
Ejemplo Los coeficientes de la segunda forma fundamental de la superficie de
revolución generada por la curva r(u),z(u) son
e = z′′ (u)r ′ (u) − z ′ (u)r ′′ (u)
z
, f =0, g =
r ′ (u) 2 + z ′ (u) 2
′ (u)r(u)
r ′ (u) 2 + z ′ (u) 2 .