Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.4. Aplicaciones al cálculo vectorial 415
Teorema 11.17 Sea U un abierto en R 3 tal que H 1 (U) =0. Entonces un
campo F : U −→ R 3 de clase C 1 es conservativo si y sólo si rot F =0.
Vimos en el capítulo anterior que si F es un campo de clase C 2 , entonces
div rot F = 0. El teorema siguiente nos da un recíproco parcial:
Teorema 11.18 Sea U un abierto en R 3 tal que H 2 (U) =0yseaF : U −→ R 3
un campo de clase C 1 . Entonces existe un campo G : U −→ R 3 tal que F = rot G
si y sólo si div F =0.
Demostración: Sabemos que d dΦ(F ) = div Fdm, por lo que div F =0
equivale a que dΦ(F )=dω, para una cierta 1-forma ω = Gdr, lo cual a su vez
equivale a que F = rot G.
De aquí se siguen algunos resultados importantes sobre unicidad de un
campo:
Teorema 11.19 Sea F : R 3 −→ R 3 un campo de clase C 1 tal que div F =
rot F =0y F tienda a 0 en infinito. Entonces F =0.
Demostración: Como rot F = 0 tenemos que F = ∇φ, para cierta función
φ : R3 −→ R de clase C2 . Como ∆φ = div ∇φ = div F = 0, tenemos que φ es
harmónica. Es inmediato comprobar que si φ es cualquier función de clase C2 se cumple
∂
∂φ
(∆φ) =∆ .
∂xi
∂xi
De aquí se sigue en nuestro caso que las derivadas parciales de φ, es decir, las
componentes de F son harmónicas. Ahora bien, vimos en el capítulo anterior
que una función harmónica que tienda a0eninfinito ha de ser nula, es decir,
F =0.
De aquí se sigue que si dos campos en R 3 se anulan en el infinito y tienen
la misma divergencia y el mismo rotacional, entonces son iguales. (En realidad
basta con que la diferencia tienda a 0 en el infinito.) Es natural preguntarse
ahora si las ecuaciones div F = G, rot F = H tienen solución para dos campos
G y H prefijados. Si imponemos a G y H las condiciones necesarias para que
F se anule en el infinito la respuesta es afirmativa. Antes conviene probar otro
resultado:
Teorema 11.20 Sea F un campo de clase C 1 en R 3 tal que div F tenga soporte
compacto. Entonces F puede descomponerse como F = V + U, donde rot V =0
y div U =0.
Demostración: El campo V ha de ser de la forma ∇φ, para una cierta
función φ de clase C2 . Además ∆φ = div V = div F . Según vimos en el capítulo
anterior, esta ecuación tiene como única solución el potencial newtoniano:
φ(x) = 1
4π
R 3
div F
x − y dm(y).