Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

386 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Vɛ
∆f(y)
dm(y) =
x − yn−2 +
∂V
Sɛ
1
x − y n−2
f d
dn
1
df d
− f
dn dn
−
x − yn−2 1
x − y n−2
df
dn
dσ(y)
1
x − yn−2
dσ(y).
Observar que hemos cambiado el signo en el segundo integrando porque la
orientación positiva de S es la contraria a la que tiene como parte de la frontera
de Vɛ. Puesto que f es de clase C 2 , tenemos que ∆f es continua en V , por lo que
el integrando del primer miembro es integrable en V (es el potencial newtoniano
de ∆f), luego existe el límite cuando ɛ → 0 de ambos miembros de la igualdad,
luego también del último término. Vamos a calcularlo.
Notemos que sobre los puntos de Sɛ es n(y) =(y − x)/x − y, luego los
cálculos que hemos hecho antes muestran que
d 1
n − 2
= − .
dn x − yn−2 x − yn−1 El último término es, pues,
(n − 2)
−
ɛn−1
1
f(y) dσ(y) −
Sɛ
Sɛ ɛn−2 df
dn dσ(y).
Si llamamos σn−1 a la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimensión
n−1, entonces σ(Sɛ) =ɛn−1σn−1, y es claro que la segunda integral está acotada
por Kσn−1ɛ, donde K es una cota de la derivada direccional de f en un entorno
de x. Por consiguiente este término tiende a 0. El límite del primer sumando lo
calculamos al estudiar los potenciales newtonianos (ver las fórmulas precedentes
al teorema 10.19). Recordemos que vale −(n−2)σn−1f(x). Con esto obtenemos
la tercera fórmula de Green
f(x) =
+
∂V
1
−
V
∆f(y)
dm(y)
x − yn−2 (n − 2)σn−1
1
x − yn−2 df d
− f
dn dn
1
x − yn−2
dσ(y) .
Esta fórmula nos dice que el valor de una función de clase C 2 en un punto
x está completamente determinado por ∆f en un entorno de x y las funciones
f y df/dn sobre una superficie que rodee a x. Hay un caso particularmente
interesante donde esta expresión se simplifica mucho:
Definición 10.20 Se dice que una función f de clase C 2 es harmónica en un
abierto V si cumple ∆f(x) = 0 para todo x ∈ V .
Por ejemplo, el potencial newtoniano de una función f es una función harmónica
en los puntos exteriores al soporte de f.