Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

322 Capítulo 9. Formas diferenciales
Teorema 9.1 Sea φ : E n −→ F n una aplicación lineal entre dos espacios
vectoriales euclídeos de dimensión n ysea∆φ el determinante de la matriz de
φ respecto a dos bases ortonormales cualesquiera. Entonces, para todo conjunto
medible A ⊂ E n se cumple m φ(A) = |∆φ| m(A).
Demostración: Sean f : R n −→ E n y g : R n −→ F n dos isometrías. Sea
h = f ◦φ◦g−1. Claramente el determinante de h es igual a ∆φ y φ = f −1 ◦h◦g.
Basta aplicar el teorema 7.35 y el hecho de que f y g conservan la medida.
Sea ahora X : U −→ R m una carta de la variedad S y sea V = X[U].
Veamos cómo definir una medida en V que se corresponda con la noción de
área, etc. La idea básica es que alguien que “viva” en un entorno suficientemente
pequeño de un punto p ∈ V podrá creer (salvo que tome medidas de muchísima
precisión) que “vive” en R n (o mejor en p + Tp(S), aunque a efectos prácticos
podemos trabajar en Tp(S)), y queremos una medida en S que en dicho entorno
se confunda con la medida de Lebesgue en Tp(S). En particular deberá tratarse
de una medida regular y completa definida al menos sobre todos los conjuntos
de Borel (pues estas propiedades son locales).
Más explícitamente, si p ∈ V , digamos p = X(x) con x ∈ U, para cada
conjunto de Borel B en un entorno de p, podemos considerar los conjuntos de
Borel BX = X −1 [B] yπp[B] =dX(x)[BX − x]. Así, BX es la representación
en nuestro “mapa” del conjunto B y p + πp[B] es el conjunto de p + Tp(S) con
el cual se confunde B. Si llamamos µ a la medida que queremos definir en S,
la condición que debe cumplir es que µ(B) se confunda con m(πp[B]), pero no
en el sentido de que la diferencia de ambas tienda a 0 cuanto menor sea en el
entorno en que tomemos B (eso es trivial, pues ambas medidas tenderán a 0),
sino en el sentido de que el error relativo
µ(B) − m(πp[B])
m(πp[B])
tienda a 0 cuanto menor sea el entorno en que tomemos B.
Pensemos por ejemplo en una esfera del tamaño de la Tierra y tomemos
como carta del hemisferio norte la proyección sobre el plano del ecuador. Si B
es un círculo alrededor del polo norte (digamos de un metro de radio) entonces
πp[B] es también un círculo de un metro de radio, sólo que πp[B] es plano y B
está ligeramente abombado. A pesar de ello, la diferencia es insignificante y el
error que cometeríamos al tomar el área de B como la de πp[B] no sería del orden
de un metro cuadrado, sino del orden de una centésima de micra cuadrada, es
decir, que el cociente anterior sería ciertamente muy pequeño.
Llamemos µX(BX) =µ(B). Es claro que las medidas µ y µX se determinan
mutuamente, por lo que vamos a definir una medida µX en U que se ajuste a
los requisitos que estamos exigiendo y a partir de ella definiremos µ. De este
modo podremos aplicar los resultados del capítulo anterior sobre medidas en R n .
Conviene suponer que V está acotado, con lo que las medidas µ y µX tendrán
que ser finitas.