Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

302 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Ejercicio: Probar que el conjunto de todas las medidas signadas sobre una σ-álgebra
en un conjunto X es un espacio normado con la norma dada por µ = |µ|(X).
Definición 8.23 Si µ es una medida signada en un conjunto X, llamaremos
variación positiva y variación negativa de µ a las medidas (definidas sobre la
misma σ-álgebra) dadas por
µ + =
|µ| + µ
2
, µ − = |µ|−µ
.
2
Claramente son dos medidas positivas finitas y cumplen las relaciones
µ = µ + − µ − , |µ| = µ + + µ − .
Por ejemplo, si µ representa la carga eléctrica contenida en una región del
espacio, µ + y µ − representan, respectivamente, la carga positiva y la carga
negativa que contiene dicha región.
Diremos que una función f : X −→ R es integrable respecto a una medida
signada µ si lo es respecto a µ + y µ − , y definimos su integral como
X
fdµ=
X
fdµ +
−
X
fdµ − .
Es fácil ver que el conjunto L1 (µ) de las funciones integrables es un espacio
vectorial y la integral determina sobre él una aplicación lineal. Además se
cumple la desigualdad
fdµ
X
≤
|f| d|µ|.
X
También es claro que la aplicación dada por ν(E) =
fdµ es una medida
E
signada en X.
Nos encaminamos a probar ahora uno de los teoremas más importantes de
la teoría de la medida. Para ello necesitamos algunos conceptos y resultados
previos.
Definición 8.24 sea µ una medida positiva en un conjunto X y λ una medida
arbitraria (positiva o signada) en la misma σ-álgebra. Diremos que λ es absolutamente
continua respecto a µ, y lo representaremos por λ ≪ µ, si todos los
conjuntos nulos para µ son nulos para λ.
Si existe un conjunto medible A tal que para todo conjunto medible E se
cumple λ(E) =λ(A ∩ E) se dice que λ está concentrada en A. Esto equivale a
que λ(E) = 0 siempre que E ∩ A = ∅.
Diremos que dos medidas arbitrarias (sobre una misma σ-álgebra) son mutuamente
singulares, y lo representaremos por λ1 ⊥ λ2, si existen conjuntos
medibles disjuntos A y B tales que λ1 está concentrada en A y λ2 está concentrada
en B.