Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

180 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
Por consiguiente x ′ (t) =r(1 − cos t, − sen t),
x ′ (t) = r √ 2 − 2 cos t =2r sen t
2 .
Vemos que los múltiplos de 2π son puntos singulares de la cicloide. Corresponden
a los momentos en que el clavo toca el suelo. Entonces se para y cambia
de sentido.
Es fácil calcular
L =
2π
0
2r sen t
dt =4r − cos
2 t
2π =8r.
2 0
Ejercicio: Calcular la longitud de la astroide, dada por x(t) =(a cos 3 t, a sen 3 t).
Ejemplo La trayectoria de un clavo de una rueda que gira sobre una circunferencia
se llama epicicloide. El caso más simple lo tenemos cuando ambas
circunferencias tienen el mismo radio. La curva se llama entonces cardioide,
porque su forma recuerda a un corazón.
Supongamos que la circunferencia fija tiene
centro en (a/4, 0) y radio a/4 y que el clavo parte
θ
de la posición (0, 0). Cuando la rueda ha girado α
radianes la situación es la que indica la figura. El
cuadrilátero tiene dos ángulos y dos lados iguales,
ρ α
por lo que los otros dos ángulos también tienen la
misma amplitud θ. Es claro entonces que
ρ =
θ α
a
2 +2a cos θ,
4
luego
ρ = a
(1 + cos θ),
2
donde θ ∈ ]−π, π[. Ésta es la ecuación de la cardioide en coordenadas polares.