Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

306 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Haciendo f = χB en (8.3) el miembro izquierdo es 0 y el derecho es
B wdµ,
y como w>0 concluimos que µ(B) = 0, luego λs ⊥ µ.
Ahora aplicamos (8.3) a (1 + g + ···+ gn )χE, con lo que tenemos
(1 − g n+1
) dλ = g(1 + g + ···+ g n )w dµ.
E
E
El integrando de la izquierda es nulo en B y converge a 1 en A, luego la integral
de la izquierda converge a λ(A ∩ E) =λa(E). Por otra parte, el integrando
de la derecha converge a una función medible no negativa h (quizá con valores
infinitos), luego tomando límites en n resulta que
λa(E) = h dµ.
E
En particular esto vale para E = X, lo que prueba que h toma valores finitos
p.c.t.p., luego modificándola si es necesario en un conjunto nulo podemos
suponer que h ∈ L1 (µ).
Esto prueba el teorema cuando λ es positiva. Si es una medida signada
arbitraria basta aplicar la parte ya probada a λ + y λ− .
Definición 8.29 Si µ una medida positiva σ-finita en un conjunto X y λ es una
medida signada sobre la misma σ-álgebra tal que λ ≪ µ, entonces la función
h cuya existencia afirma el teorema de Radon-Nikod´ym se llama la derivada
de Radon-Nikod´ym de λ respecto a µ. La relación que expresa el teorema se
representa también por dλ = hdµ.
Veamos una aplicación del teorema de Radon-Nikod´ym. Una interpretación
del teorema siguiente es que si µ representa la distribución de carga eléctrica en
el espacio, entonces el espacio puede dividirse en dos regiones, una íntegramente
ocupada por cargas positivas y otra por cargas negativas.
Teorema 8.30 (Teorema de descomposición de Hann) Sea µ una medida
signada en un conjunto X. Entonces X se descompone en unión de dos
conjuntos medibles disjuntos A y B tales que para todo conjunto medible E se
cumple
µ + (E) =µ(A ∩ E), µ − (E) =−µ(B ∩ E).
Demostración: Obviamente µ ≪|µ|, luego existe una función h ∈ L 1 (|µ|)
tal que dµ = hd|µ|. Veamos que h toma los valores ±1 p.c.t.p. Dado un número
real r, sea Ar = {x ∈ X ||h(x)|