Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

84 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Definición 2.41 Si H es un espacio prehilbertiano, diremos que x, y ∈ H son
ortogonales, y lo representaremos por x ⊥ y, six · y =0.
Es conocido que la ortogonalidad en R n coincide con el concepto geométrico
de perpendicularidad. Es fácil generalizar el teorema de Pitágoras:
Si x ⊥ y, entonces x + y 2 = x 2 + y 2 .
Así mismo, las propiedades del producto escalar dan inmediatamente la
fórmula conocida como identidad del paralelogramo:
Para cada A ⊂ H, definimos
x + y 2 + x − y 2 =2x 2 +2y 2 .
A ⊥ = {x ∈ H | x ⊥ a para todo a ∈ A}.
Es claro que A ⊥ es un subespacio vectorial de H. Más aún, puesto que {a} ⊥
es la antiimagen de 0 por la aplicación continua x ↦→ a · x, se cumple que {a} ⊥
es cerrado, y como
A ⊥ =
{a} ⊥ ,
a∈A
vemos que A ⊥ es un subespacio cerrado de H.
Si V es un subespacio vectorial de H es claro que V ∩ V ⊥ = 0. Vamos a
probar que si V es cerrado entonces H = V ⊕ V ⊥ . Para ello necesitamos un
resultado previo:
Teorema 2.42 Sea M un subconjunto no vacío, cerrado y convexo de un espacio
de Hilbert H. Entonces M contiene un único elemento de norma mínima.
Demostración: Sea δ el ínfimo de las normas de los elementos de M.
y tenemos
Aplicando la identidad del paralelogramo a 1 1
2x, 2
1
4 x − y2 = 1
2 x2 + 1
2 y2 2
−
x + y
2 .
Si x, y ∈ M, por convexidad (x + y)/2 ∈ M, luego
x − y 2 ≤ 2x 2 +2y 2 − 4δ 2 . (2.1)
Si x = y = δ esto implica x = y, lo que nos da la unicidad. Es fácil
construir una sucesión {xn} ∞ n=0 ⊂ M tal que lím n xn = δ. Aplicando 2.1 a xm
y xn concluimos fácilmente que la sucesión es de Cauchy, luego converge a un
punto x que, por continuidad de la norma, cumplirá x = δ. Además, como M
es cerrado, ha de ser x ∈ M y claramente su norma es la mínima en M.
Teorema 2.43 Sea V un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces