Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.2. Espacios tangentes, diferenciales 205
Precisemos la interpretación geométrica de la variedad tangente. Ya hemos
justificado que los puntos de S se confunden con los de la variedad tangente
Tp(S) en un entorno de p, pero más exactamente, si X es una carta alrededor
de p y x es su sistema de coordenadas, hemos visto que cada punto q ∈ S
suficientemente próximo a p se confunde con el punto
p + dX x(p) x(q) − x(p) ∈ p + Tp(S).
Definición 5.10 Sea S ⊂ R m , p ∈ S, sea X : U −→ V ∩ S una carta alrededor
de p y sea x su sistema de coordenadas. Llamaremos proyección asociada a X
a la aplicación πp : S ∩ V −→ Tp(S) dada por πp(q) =dX x(p) x(q) − x(p) .
Según hemos visto, la interpretación geométrica de estas proyecciones consiste
en que el paso q ↦→ πp(q) es imperceptible si tomamos puntos q suficientemente
próximos a p. Ahora veamos que las coordenadas de q en la carta
coinciden con las coordenadas de πp(q) asociadas a un cierto sistema de referencia
afín en Tp(S).
Sea X : U −→ S una carta de una variedad S. Sea X(x) =p. Entonces
dX(x) :R n −→ Tp(S) es un isomorfismo. Por consiguiente, si e1,...,en son los
vectores de la base canónica en R n , sus imágenes dX(x)(ei) =DiX(x) forman
una base de Tp(S). El espacio tangente no tiene una base canónica pero, según
acabamos de ver, cada carta alrededor de p determina una base en Tp(S). Es
claro que si q ∈ S está en el entorno de p cubierto por la carta, las coordenadas
de πp(q) en la base asociada en Tp(S) son x(q) − x(p), luego si con dicha base
formamos un sistema de referencia afín en p + Tp(S) cuyo origen sea el punto
O = p − dX x(p) x(p) , tenemos que las coordenadas de πp(q) en este sistema
son precisamente x(q). Cuando hablemos del sistema de referencia afín asociado
a la carta nos referiremos a éste. En conclusión, cada punto q de un entorno
de p en S se confunde con el punto πp(q) deidénticas coordenadas afines en la
variedad tangente p + Tp(S).
Ejercicio: Probar que si S1 y S2 son variedades diferenciables y (p, q) ∈ S1 × S2
entonces T(p,q)(S1 × S2) =Tp(S1) × Tq(S2).
Seguidamente generalizamos la noción de diferenciabilidad al caso de aplicaciones
entre variedades cualesquiera (no necesariamente abiertos de R n ).
Definición 5.11 Diremos que una aplicación continua f : S −→ T entre dos
variedades es diferenciable (de clase C q ) en un punto p ∈ S si existen cartas
X e Y alrededor de p y f(p) respectivamente de modo que X ◦ f ◦ Y −1 sea
diferenciable (de clase C q )enX −1 (p).
El teorema 5.5 implica que la diferenciabilidad de f en p no depende de la
elección de las cartas X e Y , en el sentido de que si unas cartas prueban que f
es diferenciable, otras cualesquiera lo prueban igualmente.
Es fácil ver que la composición de aplicaciones diferenciables es diferenciable.
Una aplicación f : U −→ R m definida en un abierto U de R n es diferenciable