Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.2. Homotopías 405
Es evidente que si φ y ψ son homotópicos entonces ψ −φ transforma cociclos
es cofronteras, por lo que φ = ψ.
Casi tenemos probado el teorema siguiente:
Teorema 11.7 Si f,g : S1 −→ S2 son aplicaciones homotópicas entre variedades,
entonces f ♯ ,g ♯ :Λ(S2) −→ Λ(S1) son homomorfismos homotópicos.
Demostración: Sea H : R × S1 −→ S2 una homotopía entre f y g. Definimos
h = H ♯ ◦ i(e1) ◦ I 1 0 . Claramente h :Λ(S2) −→ Λ(S1) es un homomorfismo
de grado −1. Componiendo con H ♯ en ambos miembros de (11.1) obtenemos
H ♯ ◦ (j ♯
1 − j♯ 0 )=H♯ ◦ d ◦ i(e1) ◦ I 1 0 + H ♯ ◦ i(e1) ◦ I 1 0 ◦ d.
El primer miembro es (j1 ◦ H) ♯ − (j0 ◦ H) ♯ = g ♯ − f ♯ . Teniendo en cuenta
que H ♯ conmuta con la diferencial, el segundo miembro es d ◦ h + h ◦ d, luego h
es una homotopía.
Definición 11.8 Sean S1 ⊂ S2 variedades diferenciables. Una retracción de S2
en S1 es una aplicación r : S2 −→ S1 diferenciable tal que r|S1 sea la identidad.
En tal caso se dice que S1 es un retracto de S2. Si la retracción es homotópica
a la identidad en S2 entonces se dice que la variedad S1 es un retracto por
deformación 3 de S2.
Informalmente, S1 es un retracto por deformación de S2 si S2 puede deformarse
gradualmente hasta quedar aplastado sobre S1 y ello sin mover ninguno
de los puntos de S1.
Por ejemplo, la esfera unitaria de dimensión n es un retracto de la bola
(abierta o cerrada) de dimensión n + 1 de centro 0 y radio 2 menos el origen, tal
y como muestra el ejemplo que hemos visto de homotopía. En realidad es claro
que los centros y los radios son irrelevantes: cualquier bola menos su centro se
puede retraer homotópicamente hasta cualquier esfera concéntrica contenida en
ella. La deformación consiste en agrandar paulatinamente el agujero que deja
el centro y contraer los puntos exteriores a la esfera.
Una superficie cilíndrica puede retraerse hasta una circunferencia (sin más
que aplastar verticalmente sus paredes). Un toro sólido puede “estrangularse”
hasta una circunferencia.
Las variedades que pueden retraerse a un punto se llaman contractibles.
Entre ellas se encuentran R n , las bolas abiertas y cerradas y, más en general,
todas las variedades cubribles por una sola carta con dominio contractible. En
cambio, una esfera no es contractible (como veremos enseguida).
El interés de todo esto radica en que los retractos por deformación tienen la
misma cohomología:
3 Estos conceptos tienen interés para espacios vectoriales arbitrarios, considerando entonces
retracciones y homotopías continuas, ya no diferenciables.