Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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86 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud 2.5 Aplicaciones a las series numéricas La completitud de K tiene muchas consecuencias sobre las series numéricas. En primer lugar, la condición de Cauchy para una serie en K puede expresarse como sigue: Teorema 2.45 Una serie ∞ an en K es convergente si y sólo si para todo n=0 p ɛ>0 existe un natural n0 tal que si n0 ≤ m ≤ p, entonces an 0 existe un número natural n0 de manera que p si n0 ≤ m ≤ p, entonces |an|
2.5. Aplicaciones a las series numéricas 87 entendiendo que si las series de la izquierda convergen, las de la derecha también lo hacen y se da la igualdad. Un resultado análogo para producto de series ya no es tan sencillo. Definición 2.48 Sean ∞ an y ∞ bn dos series en K. Llamaremos producto n=0 n=0 de Cauchy de estas series a la serie ∞ n . n=0 ak · bn−k k=0 La intención es que la serie que acabamos de definir converja al producto de las dos series de partida, pero esto no ocurre necesariamente si al menos una de ellas no converge absolutamente. Teorema 2.49 Si ∞ an y n=0 ∞ bn son dos series convergentes en K al menos n=0 una de las cuales converge absolutamente, entonces ∞ n ∞ ∞ = . n=0 k=0 ak · bn−k Demostración: Supongamos que la serie que converge absolutamente es ∞ an y definamos n=0 Ahora, ∞ ∞ A = an, B= bn, cn = n=0 An = n=0 n ak, Bn = k=0 n=0 an n=0 bn n ak · bn−k, Cn = k=0 n bk, βn = Bn − B. k=0 n ck, Cn = c0 + ···+ cn = a0b0 +(a0b1 + a1b0)+···+(a0bn + ···+ anb0) = a0Bn + ···+ anB0 = a0(B + βn)+···+ an(B + β0) = AnB +(a0βn + ···+ anβ0) El teorema quedará probado si vemos que a0βn + ···+ anβ0 tiende a 0. Sea ɛ>0. Sea K = ∞ |an|. Sea M = sup |βn| |n ≥ 0 (la sucesión βn n=0 tiende a 0, luego está acotada). Existe un número natural n0 tal que si n ≥ n0, entonces |βn|
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