Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.6. El teorema de Stokes con singularidades 389
Definición 10.21 Sea S ⊂ R m una variedad de dimensión n sin frontera. Sea
F (S) =S \ S. Diremos que un punto p ∈ F (S) esunpunto frontera regular
de S si existe una carta X : U −→ V de R n alrededor de p (de coordenadas
x1,...,xm) demodoqueS ∩ V está formado por los puntos de coordenadas
xn+1 = ··· = xm =0,xn < 0, mientras que los puntos de F (S) ∩ V son los de
coordenadas xn = xn+1 = ···= xm = 0. Llamaremos ∂S al conjunto de puntos
frontera regulares de S.
Obviamente S ∪ ∂S es una variedad con frontera. El conjunto F (S) \ ∂S es
cerrado en Rm . Sus puntos se llaman puntos frontera singulares.
Por ejemplo, si S es un cilindro abierto en R3 , sus puntos frontera singulares
son los de las dos circunferencias que limitan sus tapas. Nuestra intención es
probar el teorema de Stokes para una variedad S cuyos puntos frontera singulares
formen un conjunto pequeño en el sentido de la teoría de la medida. A
su vez, la idea es modificar cada forma en un entorno suficientemente pequeño
del conjunto de puntos singulares para hacer aplicable el teorema de Stokes que
conocemos y después hacer un paso al límite.
Una sucesión fundamental de entornos de un cerrado E ⊂ Rm es una familia
de abiertos {Wk} ∞ k=1 que contienen a E tal que si V es un abierto y E ⊂ V ,
entonces Wk ⊂ V para todo k suficientemente grande.
Supongamos que E es el conjunto de puntos singulares de una variedad S
y que {Wk} ∞ k=1 es una sucesión fundamental de entornos de E. Para cada k,
tomemos una función gk que se anule en un entorno de E y valga 1 fuera de Wk.
De este modo, si ω es una n−1-forma definida en un entorno de S, la forma gkω
coincide con ω salvo en Wk y tiene soporte compacto en S ∪ ∂S, luego podemos
aplicarle el teorema de Stokes:
gkω = d(gkω) = gk dω + dgk ∧ ω. (10.6)
∂S
S
S
S
El paso siguiente es tomar límites cuando k tiende a infinito, y el punto más
delicado es estudiar el comportamiento del último término. Recogeremos en una
definición todo lo que necesitamos:
Definición 10.22 Sean E y S subconjuntos cerrados de R m . Diremos que E
es despreciable para S si existe un abierto W en R n que contiene a E y una
sucesión fundamental {Wk} ∞ k=1 de entornos de E tales que W k ⊂ W y una
sucesión {gk} ∞ k=1 de funciones de clase C1 en W tales que
a) 0 ≤ gk ≤ 1, gk se anula en un entorno de E y vale 1 fuera de Wk.
b) Si ω es una n − 1-forma de clase C 1 en W , entonces dgk ∧ ω es integrable
en W ∩ S y, si llamamos µk a la medida signada en S definida por su
integral, entonces
lím k |µk|(W ∩ S) =0.
Con esta definición es fácil probar: