Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

20 Capítulo 1. Topología
Definición 1.41 Si M es un espacio métrico, A = ∅ un subconjunto de M y
x ∈ M, definimos la distancia de x a A como d(x, A) =ínf{d(x, y) | y ∈ A}.
Es evidente que si x ∈ A entonces d(x, A) = 0, pues entre las distancias cuyo
ínfimo determinan d(x, A) se encuentra d(x, x) = 0. Sin embargo los puntos que
cumplen d(x, A) = 0 no están necesariamente en A.
Teorema 1.42 Si M es un espacio métrico y A ⊂ M, entonces un punto x
cumple d(x, A) =0si y sólo si x es adherente a A.
Demostración: Si d(x, A) = 0, para probar que es adherente basta ver que
toda bola abierta de centro x corta a A. Dado ɛ>0 tenemos que d(x, A) 0 tal que A ⊂ BM (0).
Ejercicio: Probar que en un espacio normado la clausura de una bola abierta es la
bola cerrada del mismo radio y el interior de una bola cerrada es la bola abierta. ¿Cuál
es la frontera de ambas? Dar ejemplos que muestren la falsedad de estos hechos en un
espacio métrico arbitrario.
1.5 Continuidad
Finalmente estamos en condiciones de formalizar la idea de función continua
como función f que envía los alrededores de un punto a los alrededores de su
imagen. No exigimos que las imágenes de los puntos de alrededor de un punto x
sean todos los puntos de alrededor de f(x). Por ejemplo, sea S la circunferencia
unidad en R 2 y f la aplicación dada por
[0, 1] −→ S
x ↦→ (cos 2πx, sen 2πx)
Lo que hace f es “pegar” los extremos del intervalo en un mismo punto (1, 0).
Queremos que esta aplicación sea continua, y vemos que [0, 1/4] es un entorno
de 0 que se transforma en “medio” entorno de (1, 0), en los puntos de alrededor
de (1, 0) contenidos en el semiplano y>0. Esto no debe ser, pues, un obstáculo
a la continuidad.