lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 89
definida por:
m Av ′ j = ∑
a ′ rj w′ r (j = 1,...,n). (*)
r=1
Para obter a relação entre as matrizes a e a ′ , consideramos as
matrizes de passagem p = [p kj ] ∈ M(n×n) e q = [q ir ] ∈ M(m×m),
definidas pelas igualdades
n
v ′ j = ∑
p kj v k e w ′ r =
k=1
m∑
q ir w i .
Por definição, p é a matriz de passagem da base V para a base V ′ e
q é a matriz de passagem da base W para a base W ′ . Cada um dos
dois membros da igualdade (*) pode ser escrito separadamente, em
termos da base W, assim:
n
Av ′ j = ∑
p kj Av k =
k=1
m∑
a ′ rj w′ r =
r=1
=
=
=
=
m∑
i=1
n∑ ∑
m
p kj a ik w i
k=1
n∑
k=1 i=1
i=1
m∑
p kj a ik w i
(
m∑ ∑ n
a ik p kj
)w i ,
i=1
a ′ rj
r=1 i=1
m∑
r=1 i=1
k=1
m∑
q ir w i
m∑
a ′ rj q irw i
(
m∑ ∑ m
)
q ir a ′ rj w i .
i=1
Igualando os coeficientes de w i vem:
isto é, ap = qa ′ .
n∑
a ik p kj =
k=1
r=1
m∑
q ir a ′ rj ,
r=1