lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 237
onde λ 1 ,...,λ n são os autovalores da matriz simétrica [a ij ].
Noutras palavras, quando se exprime o vetorv = y 1 u 1 +···+y n u n
como combinação linear dos elementos da base U, tem-se v ∈ Σ se, e
somente se, suas coordenadas y 1 ,...,y n satisfazem a equação
∑
λi y 2 i = 1.
As retas que contêm os vetores u i da base U chamam-se os eixos
principais da quádrica central Σ.
Quando n = 2, Σ chama-se uma cônica. Portanto, a cônica definida
em R 2 pela equação
ax 2 +2bxy+cy 2 = 1
pode, numa nova base ortonormal de R 2 , ser representada pela e-
quação
λs 2 +µt 2 = 1,
[ ] a b
onde λ, µ são os autovalores da matriz .
b c
Segundo os sinais desses autovalores, as seguintes possibilidades
podem ocorrer:
1 ō ) Se λµ < 0 (isto é, ac < b 2 ) tem-se uma hipérbole.
2 ō ) Se λ > 0 e µ > 0 (isto é, a > 0 e ac > b 2 ) tem-se uma elipse.
3 ō ) Se λ < 0 e µ < 0 (isto é, a < 0 e ac > b 2 ) tem-se o conjunto
vazio.
4 ō ) Se λµ = 0 (isto é, ac = b 2 ) tem-se um par de retas paralelas, ou
o conjunto vazio, conforme seja a+c > 0 ou a+c ≤ 0.
Evidentemente, quando λ = µ > 0 tem-se uma circunferência.
É claro que, em cada caso concreto, dada a equação ax 2 +2bxy+
cy 2 = 1, uma aplicação imediata do método de Lagrange (de completar
o quadrado) permite escrever o primeiro membro sob a forma
b 1 y 2 1 + b 2y 2 2 e daí constatar, conforme os sinais de b 1 e b 2 , se se
trata de elipse, hipérbole ou um par de retas. Convém ter em conta,
porém, que o método de Lagrange, embora eficiente (principalmente