lgebra Linear, Elon Lages Lima

48 Transformações Lineares Seção 4
E 22 (x,y) = (0,y), constituem uma base do espaço vetorial L(R 2 ).
Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os
operadores A, B, C, I, onde A(x,y) = (x + 3y,y), B(x,y) = (x,0),
C(x,y) = (x+y,x−y) e I(x,y) = (x,y).
4.14. Verifique que as funções definidas nos Exercícios 3.32 e 3.33
são funcionais lineares.
4.15. Seja A: E → F uma transformação linear
(a) Se os vetores Av 1 ,...,Av m ∈ F são L.I., prove que v 1 ,...,v m ∈ E
também são L.I. .
(b) Se F = E e os vetores Av 1 ,...,Av m geram E, prove que v 1 ,...,v m
geram E.
(c) Valem as recíprocas de (a) e (b)? Seria (b) verdadeira com F ≠ E ?
4.16. Quais das transformações abaixo são lineares?
(a) A: R 3 → R 3 , A(x,y,z) = (x,2 y ,2 z ).
(b) A: R 3 → R 3 , A(x,y,z) = (3x,a,5z), onde a ∈ R.
(c)
A: R 4 → R 3 , A(x,y,z,w) = (x−w,y−w,x+z).
(d) A: M(n×n) → R n , A([a ij ]) = (a 11 ,a 22 ,...,a nn ).
(e) A: C ∞ (R) → C ∞ (R), Af = 3f ′′ −2f ′ +1.
([ ]) a b
(f) A: M(2×2) → R, A = ad−bc.
c d
4.17. Sejam A: E → F uma transformação linear e E ′ ⊂ E, F ′ ⊂ F
subespaços vetoriais. Prove que A(E ′ ) = {Av;v ∈ E ′ } é um subespaço
de F e A −1 (F ′ ) = {v ∈ E;Av ∈ F ′ } é um subespaço de E. Se V ⊂ E
e W ⊂ F são variedades afins, prove que os conjuntos A(V) ⊂ F e
A −1 (W) ⊂ E, definidos analogamente, são também variedades afins.
4.18. No exercício anterior, prove que se E ′ tem dimensão finita
então dim A(E ′ ) é finita e dim A(E ′ ) ≤ dim E ′ . Dê um exemplo de
um operador não identicamente nulo A: R 2 → R 2 e um subespaço
E ′ ⊂ R 2 tal que dim A(E ′ ) < dim E ′ . Prove também que se E e F ′ têm
dimensão finita eAésobrejetiva então dim A −1 (F ′ ) ≥ dim F ′ . Dê um
exemplo em queA ≠ 0 e dim A −1 (F ′ ) > dim F ′ . Dê também um exemplo
(com dim E = ∞), onde dim F ′ é finita mas dim A −1 (F ′ ) = ∞.
4.19. Dados os espaços vetoriais E, F, prove que L(E;F) é um subespaço
vetorial de F(E;F). (Vide Exercício 1.15.)