lgebra Linear, Elon Lages Lima

276 O Polinômio Característico Seção 20
Demonstração: Seja F = F λo = {v ∈ E;Av = λ o · v}. Então F e F ⊥
são ambos subespaços invariantes por A. Como vimos no Lema que
antecede o Teorema 20.1, se indicarmos respectivamente porA ′ : F →
F e A ′′ : F ⊥ → F ⊥ as restrições de A a esses subespaços invariantes,
teremos p A = p A ′ · p A ′′, ou seja, p A (λ) = (λ o − λ) r · p A ′′(λ), onde
r = dim F. Mas, pela definição de F, não pode existir em F ⊥ (nem em
lugar algum fora deF) um autovetor correspondente ao autovalorλ o .
Logo λ o não é raiz de p A ′′. Assim, r é o maior inteiro tal que (λ o −λ) r
divide p A , ou seja, é a multiplicidade algébrica de λ o .
Exercícios
20.1. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Os operadores A e A ∗ têm os mesmos autovetores.
( ) Sejam a a matriz do operador A: R n → R n na base canônica e
p uma matriz cujas colunas são autovetores L.I. de A. Então
p −1 ap é diagonal.
( ) Seλéautovalor do operador invertívelAentãoλ −1 é autovalor
de A −1 .
( ) O polinômio característico do operador A+B é a soma dos polinômios
característicos de A e B.
( ) Se v é um autovetor comum aos operadores A e B então v é
autovetor de A+B e de BA.
( ) Duas matrizes triangulares semelhantes são iguais.
20.2. Determine os polinômios característicos dos seguintes operadores:
(a) Um múltiplo αI da identidade;
(b) Uma projeção P;
(c) Uma involução;
(d) O operador de derivação D: P n → P n .